exp
⎧
⎨
⎩
-8π²|ν|
g²
⎧
⎪
⎩
1+a
g²
16π²
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
=e
-a/2
exp
⎧
⎨
⎩
-8π²|ν|
g²
⎫
⎬
⎭
,
но эти члены не меняют качественно результат. Чтобы убедиться в справедливости выражения (45.8), необходимо рассмотреть случай, когда константа связи g мала и член exp(-2π/αg) подавляет любую константу.
Обратимся теперь к рассмотрению вакуумных состояний. Определение производящего функционала дано в § 39 и 41. Если в лагранжиане пренебречь членами, описывающими вклад ду́хов и фиксирующими калибровку, то он (в евклидовой формулировке КХД) имеет вид
+⟨0|0⟩-
=
Z
=
∫
(𝑑
B
) exp
⎧
⎨
⎩
-
∫
𝑑
4
x
ℒ
(
B
)
⎫
⎬
⎭
.
(45.9а)
Но теперь необходимо решить, по каким гомотопическим классам проводить интегрирование. Напомним, что левая часть соотношения (45.9а) представляла собой амплитуду ⟨0,t=+∞|0,t=-∞⟩; поэтому равенство (45.9а) следует переопределить в виде
⟨n(+∞)|m(-∞)⟩=
∫
(𝑑
B
n-m
) exp
⎧
⎨
⎩
-
∫
𝑑
4
x
ℒ
(
B
)
⎫
⎬
⎭
.
(45.9б)
В рамках теории возмущений рассматривается лишь вакуумное состояние |n=0⟩, но очевидно, что благодаря возможности туннелирования все вакуумные состояния |n⟩ связаны между собой [61,174,252], так что ни одно из них не является стационарным и не может отвечать истинному вакуумному состоянию. Стационарные состояния, так же как блоховские состояния в теории твердого тела, получаются из суперпозиций
∑
n
e
inθ
|n⟩≡|θ⟩.
Это выражение инвариантно относительно изменений топологического заряда. В самом деле, пусть Γk - оператор, изменяющий топологический заряд на k единиц; тогда
Γ
k
|θ⟩=
∑
n
e
inθ
|n+k⟩=
∑
m
e
i(m-k)θ
|m⟩=e
-ikθ
|θ,
откуда следует, что под действием этого оператора вакуумное состояние изменяет только свою фазу. Производящий функционал в терминах θ-вакуума можно записать в виде
⟨θ(+∞)|θ'(-∞)⟩=Nδ(θ-θ')
∑
ν
e
-iνθ
∫
(𝑑
B
(ν)
)e
-∫𝑑4xB(B(ν))
.
(45.10)
Здесь можно опустить функцию δ(θ-θ'), которая отражает лишь тот факт, что физические миры, соответствующие различным значениям параметра θ, не связаны друг с другом. Кроме того, интегрирование по полям B в формуле (45.10) можно распространить на все полевые конфигурации, введя множитель
δ
⎡
⎣
ν-(g²/32π²)
∫
𝑑
4
x
∑
GG
̃
⎤
⎦
;
но тогда суммирование по индексу ν выполняется тривиально, и мы получаем
Z=N
∫
(𝑑
B
)e
-∫𝑑4xℒθ
(45.11а)
ℒ
θ
=-
1
4
∑
GG
+
ig²θ
32π²
∑
GG
̃
.
(45.11б)
Наконец, можно вернуться в пространство Минковского и сделать заключение, что из существования инстантонов следует, что истинный лагранжиан квантовой хромодинамики имеет вид
ℒ
θ
=-
1
4
∑
a
G
μν
a
G
aμν
-
θg²
32π²
∑
a
G
μν
a
G
̃
aμν
,
(45.12)
подтверждая, таким образом, необходимость введения в общем случае члена ℒ1θ (вспомним рассмотрение в начале § 38).
Можно задаться вопросом, в какой мере явления, рассмотренные в настоящем параграфе, изменяют результаты, полученные в параграфах книги, предшествующих § 37. Во-первых, ограничения, полученные для параметра θ (§ 38), требуют, чтобы его значение было настолько малым, что член лагранжиана ℒ1θ сам по себе практически не оказывает влияния. Во-вторых, инстантонное решение и связанные с ним явления представляют собой дальнодействующие эффекты; полевые конфигурации, достаточно быстро убывающие при x→∞, обладают нулевым топологическим зарядом QK=0. До сих пор мы обсуждали лишь эффекты, связанные с малыми расстояниями (для распада π0→2γ, глубоконеупругого рассеяния и т.д.); возможно, что режим теории возмущений по-прежнему применим и здесь. В этом можно убедиться, рассмотрев амплитуду туннелирования, обусловленного одноинстантонной полевой конфигурацией:
⟨0|±1⟩≈(constant)exp
⎧
⎩
-
2π
αg
⎫
⎭
.
После проведения процедуры перенормировок константу связи αg следует заменить бегущей константой связи, так что с точностью до логарифмических поправок выражение для амплитуды перехода принимает вид
⟨0|±1⟩≈
⎧
⎪
⎩
Λ²
Q²
⎫(33-2nƒ)/3
⎪
⎭
.
(45.13)
Эта формула показывает, что при больших передаваемых импульсах Q² туннельные эффекты пренебрежимо малы, и состояние |0⟩ можно рассматривать как состояние истинного вакуума; при этом ошибка, вносимая выражением (45.13), оказывается много меньше, чем, например, эффекты от операторов твиста 4 или 6. В самом деле, оценки [31] показывают, что инстантонные поправки к процессам е+е—-аннигиляции или глубоконеупругого рассеяния полностью пренебрежимы при Q²≥1 ГэВ2. Таким образом, в случаях, когда инстантонные эффекты важны, вычисления в рамках теории возмущений неприменимы, а в случаях, когда можно использовать теорию возмущений, эффекты, обусловленные существованием инстантонов, оказываются ненаблюдаемыми. С этой точки зрения инстантоны похожи на мифическое животное — василиска, увидев которого, как гласит предание, человек умирает.