§ 46. Вопросы, не рассмотренные в книге
1. КХД на решетке
В принципе формализм интегралов по траекториям, по-видимому, осуществляет мечту теоретиков: сводит квантовую теорию поля к квадратурам. Кажется, что достаточно перейти от непрерывного пространства-времени к дискретной решетке с некоторым расстоянием δ между соседними узлами и размером N и проинтегрировать определенный на этой решетке производящий функционал. На практике ситуация сложнее. Явно можно выполнить только гауссово интегрирование или интегрирование по фермионным полям, поэтому приходится обращаться к численным методам. Возможно, это и объясняет, почему после работы Вильсона [269], опубликованной в 1975 г., и до последнего времени почти не было получено новых результатов.
Однако за последние два года ситуация резко изменилась. Не только получено подтверждение существования явления конфайнмента, но в результате прогресса, обусловленного введением на решетку фермионов, были вычислены с хорошей точностью (~30 %) различные фундаментальные величины (включая вакуумные средние ⟨G²⟩, ⟨qq⟩ и, в частности, значения mρ, mp, ƒπ). К сожалению, мы не можем подробно обсудить это направление в теории поля и, таким образом, опустим все волнующие результаты, достигнутые на этом пути. Заинтересованному читателю следует обратиться к работам [79, 164, 188, 197], где имеются ссылки на дальнейшую литературу.
2. 1/N-разложение
В квантовой хромодинамике число цветов кварков равно трем, но теория упрощается, если число цветов N устремить к бесконечности [250, 251]. К счастью, в этом пределе основные свойства теории сохраняются, а поправки O(1/N) малы. Основная проблема состоит в том, что никто не знает, как вычислить член даже нулевого порядка теории возмущений. Однако это не означает бесполезности данного подхода; он позволяет установить связь с так называемым топологическим разложением в адронной физике [68, 224], проливает некоторый свет на проблему U(1) и, возможно, может иметь отношение к проблеме конфайнмента. Можно также использовать 1/N-разложение для получения качественных оценок различных эффектов. Например, ожидается, что масса нуклона (скажем протона) равна NΛ, поэтому эффекты, связанные с массой мишени, имеют величину O(N²Λ²), в то время как эффекты, вызванные операторами высших твистов (твиста 4), имеют величину O(NΛ²). Следовательно, в ведущем порядке по 1/N последними поправками по сравнению с поправками на массу мишени можно пренебречь. Аналогично на качественном уровне можно понять вырождение по массам ρ- и ω-мезонов или отсутствие связанных состояний в спектре ππ- системы. Обзор этой проблемы и ссылки на литературу читатель найдет в работах [274, 275].
3. Модели мешков
Можно почти с уверенностью говорить, что в настоящее время большинство физиков рассматривают модель мешков как некоторое удобное при решении частных задач приближение к квантовой хромодинамике.
Идея модели мешков состоит в следующем: если кварки (и глюоны) удерживаются на некотором среднем расстоянии δ, то можно имитировать действие удерживающих сил, налагая граничные условия, заключающиеся в том, что кварковые q(x) и глюонные B(x) поля тождественно обращаются в нуль за пределами сферы радиуса δ. Остальные эффекты КХД можно рассматривать по теории возмущений.
Модель мешков хорошо зарекомендовала себя в различных феноменологических приложениях: не только при вычислении статических величин (масс и магнитных моментов различных адронов), но и при получении абсолютной нормировки структурных функций ƒ(x,Q²0) [177]. Описание так называемой модели мешка MIT ссылки на дальнейшую литературу заинтересованный читатель найдет в обзоре [167].
Другой подход, связанный с моделью мешков, состоит в рассмотрении струн. В этой модели кварки и глюоны удерживаются не внутри мешка, а вдоль струны, существование которой связывается с успехами струнной динамики [144] (см. также [204]).
4. Инфракрасные свойства КХД
В то время как ультрафиолетовый предел квантовой хромодинамики, по-видимому, хорошо изучен, возможно так же хорошо (если даже не лучше), как ультрафиолетовый предел в квантовой электродинамике, очень немногое известно об инфракрасных свойствах этой теории. В рамках КХД нет ничего похожего на теорему Тирринга [245] или анализ Блоха - Нордсика [42], которые, по существу, и позволяют рассматривать в КХД эффекты, связанные с большими расстояниями, классически; результаты же, подобные теореме Ли-Ноенберга [191], обладают очень узкой применимостью55а). Мы ограничимся ссылками лишь на работы [201, 277], где рассматриваются некоторые аспекты проблемы инфракрасных свойств КХД.
55а) В самом депе, модели мешков или струн можно рассматривать как способы обойти проблему инфракрасных свойств КХД, тесно связанную с вопросом о конфайнменте.
5. Функциональные методы
Много лет назад Швингер и Дайсон получили систему функциональных уравнений, выражающих в замкнутом виде уравнения квантовой теории поля. (Эти уравнения можно найти в книгах [40, 45]). Хотя эти уравнения, конечно, нельзя решить точно, можно попытаться найти самосогласованные непертурбативные решения, совместимые с явлением конфайнмента. Даже после усечения уравнений это представляет собой трудную, хотя, возможно, и небезнадежную задачу [196].
6. Свободные кварки и глюоны
Доказать существование явления конфайнмента, по-видимому, очень сложно, возможно, потому, что оно не существует. Следует всегда помнить, что имеются серьезные кандидаты на роль свободных кварков [187]. Как следовало бы изменить КХД, чтобы решить этот вопрос и сохранить уже достигнутое? Схема, предложенная ранее Пати и Саламом, не согласуется с результатами современных экспериментов, главным образом вследствие целочисленного заряда кварков. Возможно, наиболее привлекательной является схема, предложенная в работе [93].
7. КХД при высокой температуре
В настоящей книге мы рассматривали квантовую хромодинамику только при нулевой температуре, т.е. мы не требовали, чтобы большое число кварков и глюонов было заключено внутри малого объема с высокой плотностью энергии. Кроме самостоятельного интереса, который представляет изучение КХД при конечной температуре, в космологии существуют ситуации (типа очень тяжелых звезд или Большого взрыва), где такое требование может оказаться необходимым. Более того, похожие ситуации, по-видимому, могут быть получены лабораторным путем в процессах столкновений тяжелых ионов. Заинтересованного читателя мы отсылаем к обзору [159].
8. Потенциальные модели
Важным вопросом, совершенно не затронутым в книге, является рассмотрение стимулированных квантовой хромодинамикой конституентных моделей адронов, хотя своих первых успехов кварковая модель добилась именно в этом направлении. Есть две причины, побудившие меня не включать в книгу такие модели. Во-первых, хотя КХД необходима для выяснения некоторых особенностей этих моделей, тем не менее при современном уровне развития теории трудно обосновать с какой-либо степенью строгости делаемые при этом допущения. Во-вторых, недавно вышла книга [123], посвященная именно этому кругу вопросов.