Кроме того, справедливо равенство {γν,γ5}=0. В представлении Паули или Вейля для γ-матриц справедливы соотношения γ2γμγ2=-γ*μ и γ0γ+μγ0=γμ, γ0(iγ5)0=iγ5. Наконец, если w1 и w2 - спиноры, а Γ1,…,Γn - любые матрицы из набора γμ, iγ5 , то выполняется равенство
(
w
1
Γ
1
…Γ
n
w
2
)
*
=
w
2
Γ
n
…Γ
1
w
1
.
Приложение Б. НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В пространстве размерности D справедливы формулы
∫
𝑑Dk
(2π)D
⋅
(k²)r
(k²-R²)m
=i
(-1)r-m
(16π²)D/4
⋅
Γ(r+D/2)Γ(m-r-D/2)
Γ(D/2)Γ(m)(R²)m-r-D/2
;
∫
𝑑
D
k
1
k²+i0
=0;
∫
𝑑
D
k
δ(1-|
k
|)=
2πD/2
Γ(D/2)
.
При интегрировании симметричных по индексам выражений следует воспользоваться равенствами
∫
𝑑
D
k k
μ
k
ν
ƒ(k²)=
gμν
D
∫
𝑑
D
k k²ƒ(k²);
∫
𝑑
4
k k
μ
k
ν
k
λ
k
σ
ƒ(k²)=
gμνgλσ+gμλgνσ+gμσgνλ
D2+2D
∫
𝑑
D
k k
4
ƒ(k²);
∫
𝑑
4
k k
μ1
…k
μ2n+1
ƒ(k²)≡0.
В пределе ε→0 справедливы разложения
Γ(1+ε)=1-γ
E
ε+
∞
∑
n=2
(-ε)n
n!
ζ(n), (R²)
ε/2
=1+
ε
2
log R²+O(ε²);
здесь Γ — функции Эйлера, ζ — функция Римана, а константа Эйлера γE=0,5772. Формулы фейнмановской параметризации имеют вид
1
AαBβ
=
Γ(α+β)
Γ(α)Γ(β)
∫
1
0
𝑑x
xα-1(1-x)β-1
{xA+(1-x)B}α+β
,
1
AαBβCγ
=
Γ(α+β+γ)
Γ(α)Γ(β)Γ(γ)
∫
1
0
𝑑x⋅
∫
1
0
𝑑y
u
α-1
1
u
β-1
2
u
γ-1
3
{u
1
A+u
2
B+u
3
C}
α+β+γ
,
u
1
=xy, u
2
=x(1-y), u
3
=1-x.
1
AαBβCγDδ
=
Γ(α+β+γ+δ
Γ(α)Γ(β)Γ(γ)Γ(γ)
∫
1
0
𝑑x⋅²
∫
1
0
𝑑y⋅y
×
∫
1
0
𝑑z
u
α-1
1 u
β-1
2 u
γ-1
3 u
δ-1
4
u
1
A+u
2
B+u
3
C+u
4
D
α+β+γ+δ
,
u
1
=1-x, u
2
=xyz, u
3
=x(1-y), u
4
=xy(1-z) и т.д.
В общем случае справедлива формула
1
A1…An
=(n-1)!
∫
1
0
𝑑x
1
…
∫
1
0
𝑑x
n
δ
⎧
⎪
⎩
n
∑
1
x
i
-1
⎫
⎪
⎭
1
(x1A1+…+xnAn)n
.
Более подробную сводку формул можно найти в обзоре [209].
Приведем значения некоторых определенных интегралов
∫
1
0
𝑑x log(1+x)=2log2-1
∫
1
0
𝑑x
log(1+x)
2
=
π²
12
.
Многие часто встречающиеся в приложениях интегралы можно вычислить, используя формулу Эйлера
∫
1
0
𝑑x x
α
(1-x)
β
=
Γ(1+α)Γ(1+β)
Γ(2+α+β)
.
Например, дифференцированием получаем отсюда следующие результаты:
∫
1
0
𝑑x x
α
log x=
1
(α+1)²
;
∫
1
0
𝑑x x
α
(1-x)
β
log x=[S
1
(a)-S
1
(1+α+β)]
Γ(1+α)Γ(1+β)
Γ(2+α+β)
,
∫
1
0
𝑑x
xα-1
1-x
=-S
1
(α),
∫
1
0
𝑑x x
α
log x log(1-x)=
s1(1+α)
(1+α)2
+
S2(1+α)
1+α
-
π²
6
⋅
1
1+α
;
∫
1
0
𝑑x x
α
log²x
1-x
=2ζ(3)-2s
3
(α),