Π
μν
=
q
ν
Π
μν
= 0.
(all)aa'
(all)aa'
(5.10)
Проверку унитарности мы оставляем читателю в качестве простого упражнения. Далее в тексте индекс all мы опускаем и рассматриваем лагранжиан КХД, записанный в ковариантной (лоренцевой) калибровке, т.е.
ℒ
ξ
=
∑
{
i
q
q-m
q
q
}
-
1
(D×B)
2
-
λ
(∂B)
q
4
2
q
QCD
+
∑
(∂
ω
)(δ
∂
μ
- gƒ
B
μ
)ω
,
μ
a
ab
abc
c
b
ξ
=
1-1/λ
(5.11)
Начиная со следующего раздела, в обозначении лагранжиана ℒ индекс КХД мы также будем опускать.
2. Физические калибровки
Появление ду́хов вызвано тем, что оператор проекции на физические состояния P не коммутирует с лагранжианом КХД, записанным в лоренцевой калибровке. Может оказаться, что такой проблемы не возникнет, если выбрать калибровку, в которой все глюонные состояния соответствуют физическим, так что все гильбертово пространство полей является физическим. Известно, что уже на уровне квантовой электродинамики невозможно одновременно удовлетворить условиям положительной энергии, локальности и явной лоренц-инвариантности. Поэтому возникает необходимость использования нековариантной калибровки. Одной из нековариантных калибровок является кулоновская калибровка8), однако она тоже не свободна от ду́хов. Необходимость введения ду́хов исчезает, если потребовать выполнения соотношений
8 Более того, кулоновская калибровка вносит дополнительные усложнения. Формулировка КХД в кулоновской калибровке изложена в статье [69].
n⋅B=0,
n
2
≤0.
(5.12)
Случай пространственноподобного вектора n(n2<0) соответствует аксиальным калибровкам9), а случай светоподобного вектора n(n2=0) — светоподобной калибровке10). Так как вектор n является по отношению к задаче внешним его введение нарушает явную лоренц-инвариантность промежуточных вычислений, хотя, конечно, калибровочная инвариантность обеспечивает независимость окончательных результатов для физических величин от вектора n, а следовательно, и их лоренц-инвариантность.
9 Аксиальные калибровки обсуждаются в работе [185]. См. также цитируемую там литературу.
10 См., например, работу [247] и цитируемую там литературу.
Начнем с рассмотрения аксиальной калибровки. Лагранжиан, записанный в аксиальной калибровке, имеет вид
ℒ
∑
{
i
q
q - m
q
q
}
-
1
(D×B)
2
-
1
(n⋅B)
2
.
n
q
4
2β
q
(5.13)
В дальнейшем по параметру β подразумевается предельный переход β→0, так что условие (5.12) представляет собой операторное соотношение, выполненное на всем гильбертовом пространстве. Пропагатор, соответствующий лагранжиану (5.13), записывается в виде
i
-g
μν
-k
μ
k
ν
(n
2
+βk
2
)/(k⋅n)
2
+ (n
μ
k
ν
+n
ν
k
μ
)(n⋅k)
-1
;
k
2
+i0
(5.14)
в пределе β→0 он принимает вид
i
-g
μν
-n
2
(k
μ
k
ν
/(k⋅k)
2
) + (n
μ
k
ν
+n
ν
k
μ
)/(k⋅n)
.
k
2
+i0
(5.15)
Обобщение теории на аксиальные калибровки нетривиально; детальное изложение этой процедуры заинтересованный читатель найдет в работе [185]. Все вычисления в аксиальных калибровках мы будем проводить только на однопетлевом уровне, на котором трудностей не возникает.
При рассмотрении светоподобных калибровок удобно ввести так называемые "нулевые" координаты, определяемые для любого вектора v в виде
v
±
=
1
2
(v
0
±v
3
),
v
⎧
⎩
v1
v2
⎫
⎭
; v
a
=v
±
или v
i
(i=1,2).
Метрика определяется следующим образом:
g
+-
=g
-+
=1,
g
++
=g
--
=0,
g
ij
=-δ
ij
,
i,j=1,2.
Отметим, что выполняются соотношения
v⋅w=v
+
w
-
+v
-
w
+
-
vw
=v
a
w
a
.
Для светоподобного вектора u "нулевые" координаты можно выбрать в виде u=0, u-=0, u+=1. Тогда дополнительное условие u⋅B=0 можно записать в виде
B
a
(x)=0.
-
(5.16)
Пропагатор в светоподобной калибровке определяется соотношением
i
P
μν
(k,u)
= i
-g
μν
+(u
μ
ν
+u
ν
k
μ