)/(u⋅k)
,
k
2
+i0
k
2
+i0
(5.17)
которое представляет собой частный случай формулы (5.15) с вектором n=u, u2=0. В нулевых координатах выражение (5.17) можно переписать в следующем виде:
P
aβ
=
-g
aβ
+(δ
a
-
k
β
+ δ
β
-
k
a
)/k
-
.
k
2
k
a
k
a
+i0
В качестве примера использования светоподобной калибровки рассмотрим глюонный пропагатор во втором порядке теории возмущений. В названной калибровке он имеет вид
Π
μν
l,ab
=
-ig
2
C
A
δ
ab
∫
d
D
k
⋅
1
2
(2π)
D
k
2(k+q)2
×
[
-(2k+q)
μ
g
αβ
+(k-q)
β
g
μα
+
(2q+k)
α
g
μβ
]
P
αρ
(k,u)
×
[
-(2k+q)
ν
g
ρσ
+(k-q)
σ
g
νρ
+
(2q+k)
ρ
g
νσ
]
P
σβ
(k+q,u) .
Будем рассматривать только расходящуюся и логарифмическую части. Это значительно упрощает вычисления, в результате которых получаем
Π
μν
(q)
l,ab
=
11C
A
g
2
δ
ab
(-q
2
g
μν
+q
μ
q
ν
)
3×16π
2
+
{
N
ε
-log(-q
2
)+постоянные члены
}
.
(5.18)
Видно, что это выражение поперечно. При этом нет необходимости вводить ду́хи. Интересно отметить, что пропагатор при условии (5.18) удовлетворяет трансцендентному уравнению
P
μα
(q,u)
{
-q
2
g
αβ
+q
α
q
β
}
P
βν
(q,u)
=
P
μν
(q,u)
q
2
q
2
q
2
(5.19)
§ 6. Преобразования Бекши - Роуета - Стора
В предыдущем параграфе было показано, что если в лагранжиане КХД, записанном в лоренцевой калибровке, не учесть вклада ду́хов, то это приводит к нарушению унитарности S-матрицы в пространстве физических состояний. Но в силу калибровочной инвариантности теории свойство унитарности S-матрицы должно выполняться в любой калибровке. Очевидно, что данное нарушение связано с введением фиксирующего калибровку члена, который не обладает свойством калибровочной инвариантности. В таком случае можно задать вопрос: нельзя ли интерпретировать введение ду́хов как способ восстановить нарушенную калибровочную инвариантность лагранжиана? Доказательство справедливости данного утверждения составляет содержание настоящего параграфа.
Начнем с рассмотрения квантовой электродинамики10a). Лагранжиан, записанный в ковариантной калибровке, имеет вид
10a В изложении мы следуем работам [221, 222].
ℒ
ξ
=
ψ
(i
- m)ψ -
1
F
μν
F
μν
-
λ
(∂
μ
A
μ
)
2
,
4
2
(6.1)
где тензор Fμν и ковариантная производная Dμ определяются формулами
F
μν
=∂
μ
A
ν
-∂
ν
A
μ
,
D
μ
=∂
μ
+ieA
μ
.
Калибровочная инвариантность лагранжиана нарушается членом -(λ/2)(∂A)2. Однако ее можно восстановить следующим способом. Добавим в лагранжиан (6.1) член вида
ℒ
ω
=-½(∂
μ
ω)∂
μ
ω
(6.2)
соответствующий свободному безмассовому полю ω. Обобщим калибровочные преобразования таким образом, чтобы включить поля ω. Если определить параметры инфинитезимальных преобразований в виде θ(x)=εω(x), то поля, входящие в лагранжиан, преобразуются по формулам
ψ(x)→ψ(x)+ieεω(x)ψ(x),
Aμ→Aμ-ε∂μω(x),
ω(x)→ω(x)-ελμAμ(x).
(6.3)
Тогда С точностью до 4-дивергенции лагранжиан электродинамики, представляющий собой сумму лагранжианов ℒξ и ℒω:
ℒ
ξ
=ℒ
ξ
+ℒ
QED
ω
(6.4)
инвариантен при преобразованиях (6.3). Метод восстановления калибровочной инвариантности для рассматриваемого случая довольно прост. Благодаря тому что поля A не заряжены и не взаимодействуют между собой, поля ω можно выбрать в виде свободных действительных полей. Однако простота лагранжиана ℒω не означает отсутствия глубоких физических следствий его введения. В самом деле, можно показать, что преобразования (6.3) порождают все тождества Уорда квантовой электродинамики, которые, в частности, обусловливают тот факт, что электромагнитное взаимодействие не переводит физические состояния в нефизические. Например, будет показано, как из соотношений (6.3) и (6.4) можно получить условие поперечности фотонного пропагатора. (Конечно, его можно проверить и путем прямого вычисления вакуумной поляризации.)
Рассмотрим величину ⟨ΤAμ(x)ω(0)⟩0. Проведя обобщенное калибровочное преобразование, в первом порядке по параметру ε получаем
λ⟨ΤAμ(x)(∂νAν(0))⟩0 = ⟨Τ(∂μω(x))ω(0)⟩0.