Фурье-образ этого выражения имеет вид
∫
d
4
xe
iq⋅x
ΤA
μ
(x)∂
ν
A
ν
(0)⟩
0
=
iq
ν
∫
d
4
xe
iq⋅x
⟨ΤA
μ
(x)A
ν
(0)⟩
0
=iq
ν
D
μν
(q)
=
-1
∫
d
4
xe
iq⋅x
⟨Τ(∂
μ
ω(x))ω(0)⟩
0
α
=
i
q
μ
∫
d
4
xe
iq⋅x
⟨Τω(x)ω(0)⟩
0
λ
=
1
⋅
q
μ
λ
q
2
+i0
(6.5)
Последнее равенство справедливо в силу того, что поля ω свободные, и, следовательно, их пропагатор имеет вид пропагатора свободных полей. Таким образом, доказано, что если пропагатор Dμν записать в виде суммы поперечной и продольной составляющих
D
μν
(q)
=
(-q
2
g
μν
+q
μ
q
ν
)D
tr
(q
2
)
+
q
μ
q
ν
D
L
(q
2
).
q
2
(6.6)
то последняя имеет вид
D
L
=
-1
⋅
i
λ
q
2
+i0
(6.7)
аналогичный продольной части пропагатора свободных полей. Напомним, что пропагатор свободных полей выражается в виде
D
0μν
(q)
=
i
-g
μν
+(1-λ
-1
)q
μ
q
ν
/(q
2
+i0)
.
q
2
+i0
Другими словами, если пропагатор D разложить в ряд по степеням константы взаимодействия
D
μν
(q)
=
D
(0)μν
(q)
+
e
2
D
(2)μν
(q)
+ …,
4π
то все величины D(n)μν удовлетворяют условию поперечности:
qμD(n)μν(q)=0, n=2,4,…,
которое эквивалентно соотношению (5.10).
Обобщением калибровочных преобразований (6.3) на случай неабелевой теории являются так называемые преобразования Бекши — Роуета — Стора (БРС) [32, 33]. При этом поля ду́хов, как и все другие поля, подвергаются калибровочным преобразованиям, в результате чего (с точностью до 4-дивергенции) полный лагранжиан квантовой хромодинамики (5.11) становится калибровочно-инвариантным. Такие преобразования приводят к тождествам Славнова [232] — Тейлора [244], представляющим собой аналог тождеств Уорда в квантовой электродинамике. Предполагается, что параметр инфинитезимальных преобразований БРС ε представляет собой не зависящую от пространственно-временной точки x c-числовую величину, антикоммутирующую (коммутирующую) с фермионными (бозонными) полями10b). Инфинитезимальные преобразования БРС определяются в виде
10b При этом ε2=0, εω=-ωε, εq=-qε, εB=-Bε и т.д. Следует помнить, что поля ω являются фермионными и подчиняются статистике Ферми-Дирака, так что справедливо соотношение ωbωc=-ωcωb.
B
μ
→
B
μ
- ε
∑{
δ
ab
∂
μ
-gƒ
abc
B
μ
}
ω
b
,
a
a
c
q→q - iεg
∑
t
a
ω
a
q,
ω
a
→ω
a
-
ε
g
∑
ƒ
abc
ω
b
ω
c
,
2
ω
a
→
ω
a
+ ελ
μ
B
μ
.
a
(6.8)
Используя эти преобразования точно так же, как это делается в случае, квантовой электродинамики, легко получить результат, аналогичный формуле (6.7). Если записать пропагатор в виде суммы продольной и поперечной частей
D
μν
(q)=δ
ab
(-g
μν
q
2
+q
μ
q
ν
)D
tr
+δ
ab
q
μ
q
ν
D
L
,
ab
q
2
(6.9)
то для продольной части имеем
D
L
= -
1
⋅
i
λ
q
2
-i0
(6.10)
Разложим пропагатор D в ряд по степеням константы взаимодействия g2:
D
μν
ab
∑
n=0
⎧
⎩
g²
4π
⎫²
⎭
D
(n)μν
ab
.
Примем во внимание соотношение
D
(2)μν
=
∑
D
(0)μμ'
Π
(2)
D
(0)ν'ν
ab
aa'
a'b'μ'ν'
b'b
(поляризационный оператор Π(2) взят во втором порядке теории возмущений). Из двух последних соотношений получаем следующий результат:
q
μ
Π
(2)μν
=0.
ab
Справедливость этого равенства как раз и проверялась в уравнениях (5.9) и (5.10).