Если левая часть этого равенства расходится, скажем в физическом случае D=4, что и происходит при m-r-D/2≤0, это отражается в появ.лении полюсов в правой части равенства, связанных с полюсами гамма-функции Γ(m-r-D/2). Очевидно, что этот метод содержит в себе некоторый произвол, а именно правую часть равенства можно умножить на любую функцию φ(D) при условии, что она аналитична по D и удовлетворяет условию φ(4)=1. Такая свобода в выборе функции φ(D) оказывается весьма полезной (см. следующий параграф).
Посмотрим теперь, какие усложнения возникают в случае, когда взаимодействующие частицы обладают отличным от нуля спином. Внешние и внутренние линии фейнмановских диаграмм следует различать. Ниже будет показано, что после перенормировки функции Грина с отброшенными внешними линиями в рамках теории возмущений оказываются конечными в пределе D→4. Поскольку спиновые множители на внешних линиях (т.е. множители u, v, u, v, εμ; см. приложение Г) конечны в пространстве размерности D=4, их можно сразу записывать в пространстве физической размерности. Что же касается спиновых множителей на внутренних линиях, то нужно доопределить тензор gαβ в пространстве размерности D таким образом, чтобы, например, выполнилось соотношение gαβ=gαβ=D и т.д. Аналогично необходимо рассматривать D матриц Дирака γ0, γ1,…, γD-1. Если действовать последовательно, то приходится допустить, что матрицы γμ представляют собой матрицы размерности 2D/2×2D/2 (равной размерности соответствующей алгебры Клиффорда). Но это не обязательно. Калибровочная инвариантность вполне совместима со случаем, когда матрицы γμ имеют размерность 4×4, так что Τrγμγν=4gμν; именно эта ситуация рассматривается здесь. (Метод, связанный с размерной регуляризацией, называется размерной редукцией; дополнительную информацию о ней читатель может найти в работе [231].)
Таким образом, обобщение интегралов и алгебры матриц Дирака на случай произвольной размерности пространства D производится весьма просто. Сводка формул, встречающихся при практических вычислениях, приводится в приложениях А и Б. Несколько более сложным оказывается только введение матрицы γ5 в D-мерном пространстве. Например, если матрицу γ5 определить в виде γ5=iγ0γ1γ2γ3, то очевидно, что это выражение не определено в пространстве размерности D<4. Можно показать, что определение матрицы γ5 в виде γ5=iγ0…γD-1 не совместимо с калибровочной инвариантностью (см. § 33, в частности текст между уравнениями (33.17) и (33.20)). Подходящим является, по-видимому, следующее определение:
γ
5
=
i
ε
D
γ
μ
γ
ν
γ
ρ
γ
σ
,
4!
μνρσ
где тензор εD совпадает с обычным антисимметричным тензором только в Случае D=4. На тензор εD не накладывается каких-либо дальнейших ограничений, кроме требования выполнения для любой размерности D условий
γ
2
=1, Τ
r
γ
5
γ
α
γ
β
=0.
5
(см- приложение А). Таким образом, процедура размерной регуляризации полностью определена. До тех пор, пока размерность пространства, в котором проводится вычисление фейнмановских графиков, не равна целому числу, все возникающие при вычислениях интегралы оказываются конечными. В таком подходе сохраняется калибровочная и пуанкаре-инвариантность теории, но нарушается масштабная инвариантность.
Самый простой способ проследить за нарушением масштабной инвариантности состоит в следующем. При размерной регуляризации фейнмановский интеграл типа (5.4б) изменяется:
∫
d
4
k
→
∫
d
D
k
⋅
(2π)
4
(2π)
D
При этом размерности полей и констант связи, входящих в подынтегральное выражение, отличаются от канонических. Но их можно сохранить каноническими, если воспользоваться следующим рецептом:
∫
d
4
k
→
∫
d
4
k̂
≡
∫
d
D
kν
4-D
0
, D=4-ε,
(2π)
4
(2π)
D
(7.1а)
где
k̂
μ
=ν
4/D-1
k
μ
/2π.
0
(7.1б)
При этом вводится нарушающий масштабную инвариантность произвольный параметр ν0, имеющий размерность массы.
В качестве первого примера применения этого метода вычислим пропагатор кварка в импульсном пространстве во втором порядке теории возмущений:
S
ij
(p)=
∫
d
4
xe
ip⋅x
⟨Τq
i
(x)
q
j
(0)⟩
0
.
ξ
(7.2)
Соответствующие диаграммы приведены на рис. 4. В произвольной калибровке в пространстве размерности D = 4 — ε для пропагатора S имеем выражение вида
S
ij
(p)
Dξ
=
δ
ij
i
-
1
-m+i0
-m+i0
×
g
2
∑
t
a
t
a
Σ
(2)
(p)
i
il
lj
Dξ
-m+i0
l,a
+
члены высших порядков,
(7.3а)
где введено обозначение
Σ
(2)
(p)=-i
∫
d
D
k̂
γ
μ
(
+
+m)γ
ν
⋅
-g
μν
+ξk
μ
k
ν
/k
2