.
Dξ
(p+k)
2
-m
2
k
2
(7.3 б)
Рйс. 4. Кварковый пропагатор (а) и итерация (б)
Используя тождество
для массового оператора получаем выражение
Σ
(2)
(p)
Dξ
=
-i
∫
d
D
k̂
{
(D-2)(
+
)-Dm-ξ(
-m)
k
2
[(p+k)
2
-m
2
]
-
ξ(p
2
-m
2
)
k
}
.
k
4
[(p+k)
2
-m
2
]
После стандартных преобразований (пренебрегая членами, исчезающими в пределе ε→0) приходим к окончательному ответу
Σ
(2)
(p)=(
-m)A
Dξ
(p
2
) +
mB
Dε
(p
2
);
Dξ
(7.4 а)
A
Dε
=
1
{
(1-ξ)N
ε
-1-
∫
1
dx[2(1-x)-ξ]log
xm
2
-x(1
-x)p
2
16π
2
0
ν
2
0
-
ξ(p
2
-m
2
)
∫
1
dx
x
}
;
0
m
2
-xp
2
(7.4 б)
B
Dξ
=
1
{
-3N
ε
+1+2
∫
1
dx(1+x)log
xm
2
-x(1
-x)p
2
16π
2
0
v
2
0
-
ξ(p
2
-m
2
)
∫
1
dx
x
0
m
2
-xp
2
(7.4 в)
Здесь введено обозначение Nε=2/ε-γE+log4π.
В размерной регуляризации все полосы появляются именно в такой комбинации. Используя равенство
∑
t
a
t
a
=C
F
δ
ij
=
4
δ
ij
il
lj
3
(см. приложение В), выражения (7.4) можно подставить в формулу (7.3) и получить кварковый пропагатор в виде
S
Dε
(p)=i
{
-m+g
2
C
F
Σ
(2)
}
-1
;
(7.5 а)
S
Dε
=
i
1-C
F
g
2
A
Dε
(p
2
)
+члены высших порядков.
-m{1-C
F
g
2
B
Dε
(p
2
)}
(7.5 б)
В действительности нетрудно убедиться, что формула (7.5а) точно учитывает вклад всех диаграмм рис. 4 и при замене Σ(2) на Σexact представляет собой наиболее общее выражение для пропагатора S. Из выражения (7.56) видно, что расходимости возникают от следующих членов:
1-C
F
g
2
(1-ξ)N
ε
(содержится в A
Dε
)
16π
2
(7.6)
(на него умножается свободный пропагатор S) и
1+3C
F
g
2
N
ε
(содержится в B
Dξ
)
16π
2
(7.7)
(на него умножается масса кварка m). Но оба эти множителя конечны при условии ε≠0.
Завершим данный параграф замечанием об инфракрасных расходимостях. В этой книге мы рассматриваем главным образом ультрафиолетовые расходимости, появляющиеся в пределе k→∞ и дающие особенности в виде полюсов гамма-функции Γ(ε/2). Но процедура размерной регуляризации позволяет также выделять полюсы, отвечающие инфракрасной расходимости и связанные с областью малых значений импульса k→0. Инфракрасные расходимости проявляются в вычислениях как особенности гамма-функции -Γ(ε/2). Детальное обсуждение этого вопроса можно найти в работе [134].
§ 8. Общие сведения о процедуре перенормировок
Рис. 5. Процесс рассеяния γ+u→νe+d и глюонные поправки к нему.
Рассмотрим следующий процесс. Фотон соударяется с u-кварком протона, а затем u-кварк за счет слабого взаимодействия распадается по схеме u→d+e++ν (рис. 5). В низшем порядке по константам связи электромагнитного и слабого взаимодействий и в нулевом порядке по константе сильных взаимодействий g в рассматриваемый процесс дает вклад только диаграмма рис. 5,а. Возможные глюонные поправки описываются диаграммами рис. 5,б-г. Аргументом кваркового пропагатора S(р), фигурирующего в выражении для амплитуды рассеяния, является комбинация p=py+pu (обозначения очевидны); следовательно, выражение для амплитуды рассеяния оказывается расходящимся, и никаких выводов о ее поведении, по крайней мере в рамках теории возмущений, сделать нельзя.
В действительности это не так. При построении теории была допущена некоторая неточность. Рассмотрим для простоты скалярное взаимодействие вида ψψφ, где поле φ безмассовое. Лагранжиан, описывающий систему взаимодействующих полей, имеет вид
ℒ=
ψ
(i
-m)ψ + ½∂
μ