φ∂
μ
φ + g
ψ
ψφ .
(8.1)
Как уже говорилось выше, S -матрица определяется выражением
S
=
T exp i
∫
d
4
xℒ
0
(x)
int
=
∞
1+
∑
i
n
∫
d
4
x
1
…d
4
x
n
Tℒ
0
(x)
1
…ℒ
0
(x)
n
,
n!
int
int
n=1
(8.2)
где входящие в лагранжиан ℒ0int(x) поля рассматриваются как свободные и записываются в нормально упорядоченной форме. Член ℒ0int совпадает с трилинейным членом выражения (8.1) после замены ψ→ψ0, φ→φ0:
ℒ
0
=
g:
ψ
0
ψ
0
:φ
0
.
int
(8.3)
Но эта процедура некорректна. Очевидно, что поля, фигурирующие в выражении (8.1) не являются свободными, а их масса m не совпадает с массой, которую имеет поле ψ в отсутствие взаимодействий. Это видно из выражения (7.5) для кваркового пропагатора, в котором масса кварка заменена на комбинацию вида
m{1-
4
g
2
B
D
},
3
а числитель умножен на выражение
1 -
4
g
2
A
D
3
В силу свойства инвариантности теории по отношению к преобразованиям групп внутренней и пространственной симметрии допустимы лишь следующие изменения полей и параметров, фигурирующих в лагранжиане: изменения мультипликативного типа
ψ→Z
-½
ψ
u
, φ→Z
-½
φ
u
, g→Z
g , m→Z
m ,
ψ
φ
g
m
(8.4)
и изменения, вызванные добавлением в лагранжиан некоторых дополнительных членов. Можно показать, что в рассматриваемом случае скалярного взаимодействия необходимо еще добавить в лагранжиан член вида λ(φ)4. Но мы пока этим членом пренебрежем. Таким образом, принимая во внимание только (8.4), из формулы (8.1) получаем выражение для так называемого "перенормированного" лагранжиана
ℒ
R
=
Z
-1
ψ
i
ψ
-Z
-1
Z
m
ψ
ψ
+Z
-1
∂
φ
∂
μ
φ
ψ
u
u
ψ
m
u
u
φ
μ
u
u
+
Z
Z
-1
Z
-½
g
ψ
ψ
φ
,
g
ψ
φ
u
u
u
(8.5)
откуда заключаем, что .лагранжиан взаимодействия, определяемый как разность ℒint=ℒ-ℒfree в действительности имеет вид
ℒ
R0
int
=
:g
ψ
0
ψ
0
φ
0
+(Z
½
Z
-1
Z
-½
-1)g
ψ
0
ψ
0
φ
0
u
u
u
g
ψ
φ
u
u
u
+
(Z
-1
-1)
ψ
0
i
ψ
0
-(Z
-1
Z
-1)m
ψ
0
ψ
0
ψ
u
u
ψ
m
u
u
+
(Z
-1
-1)∂
φ
0
∂
μ
φ
0
:,
φ
μ
u
u
(8.6)
где ψ0u и φ0u - свободные поля, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям. Члены, содержащие множители (Z … — 1), называются контрчленами. Очевидно, что разложение этих членов в ряд по степеням константы связи g должно начинаться с единицы, так как при значении g=0 все перенормировочные множители Z равны единице. Поэтому перенормировочные множители можно представить в виде ряда
∞
Z
j
=1+
∑
C
(n)
(
g
2
)
n
,
j
16π
2
n=1
(8.7)
где коэффициенты C(n)j имеют конечное разложение в ряд Лорана в окрестности точки ε=0 (т.е. имеют вид ∑nk=0 a(n)k ε-k +O(ε)). Существует и другой способ проследить за возникновением контрчленов [45]. Из выражения (8.2) для S-матрицы видно, что вследствие сингулярного характера входящих в него полей хронологическое произведение