=
(Z
-1
-1)i
∑
q
q
u
F
q
+
(Z
-1
Z
-½
Z
-1)g
∑
q
u
γ
μ
t
a
q
u
B
μ
+…
F
B
g
ua
(8.11 в)
описывает вклад контрчленов.
Мы видим, что в рамках теории возмущений взаимодействие описывается не только
членами
g∑q̅0uγutq0uB0μu,…,
но и членами
i(Z-1F-1)×∑q̅0u
13 См. также работу [190]. Изложение современного состояния проблемы перенормировок а КХД можно найти а работе [114].
В рамках излагаемой здесь теории перенормировок, основывающейся главным образом на монографии Боголюбова и Ширкова [45], конечные (перенормированные) функции Грина выражаются через вакуумные средние вида
⟨0|Tqu(x1)…Bu(y1)…ωu(z1)…|0⟩,
для вычисления которых по теории возмущений используется полный (содержащий и контрчлены) лагранжиан взаимодействий (8.11). Однако мультипликативный характер перенормировок допускает иной подход к рассматриваемой проблеме. Можно пренебречь контрчленами и просто переопределить поля и константы связи, фигурирующие в функциях Грина в соответствии с формулами (8.9). Более подробно это изложено в последующих параграфах. Следует также отметить, что проводимые здесь процедуры перенормировок выполняются в рамках теории возмущений. Это означает, что все вычисления должны проводиться самосогласованно в одном и том же порядке по константе взаимодействия как в первоначальных членах взаимодействия, так и в контрчленах.
§ 9. Перенормировка в КХД (однопетпевое приближение)
1. μ-перенормировка
Рассмотрим перенормированный лагранжиан квантовой хромодинамики. Для этого необходимо задать значения перенормировочных множителей Z. Начнем с определения неперенормированных функций Грина
GuD(x1,…,xN),
которые вычисляются по неперенормированному лагранжиану ℒξu. Функция G представляет собой вакуумное среднее от произведения полей
⟨TΦ
1
(x
1
)…Φ
N
(x
N
)⟩
0
= G
uD
(x
1
,…,x
N
),
(9.1)
где символы Φk соответствуют полям кварков qu , ду́хов ωu , глюонов Bu или в общем случае содержащим их локальным операторам. Используя теорию возмущений, функции Грина можно представить в виде следующего ряда:
G
uD
(x
1
,…,x
N
)
=
∞
∑
i
n
∫
d
4
z
1
…d
4
n
n!
n=0
×
⟨TΦ
0
(x
1
)…Φ
0
(x
N
)ℒ
ξ
(z
1
)…ℒ
ξ
(z
0
)⟩
0
.
1
N
uD,int
uD,int
(9.2)
Вообще говоря, неперенормированные функции Грина GuD расходятся в физическом пределе D→4. Перенормированные функции Грина определяются в виде
G
R
(x
1
,…,x
N
)
=
∞
∑
i
n
∫
d
4
z
1
…d
4
n
n!
n=0
×
⟨TΦ
0
(x
1
)…Φ
0
(x
N
)ℒ
ξ
(z
1
)…ℒ
ξ
(z
0
)⟩
0
.
1
N
R,int
R,int
(9.3)
Потребуем, чтобы перенормированная функция GR была конечной, т.е. чтобы контрчлены, содержащиеся в выражении (9.3), сокращали сингулярности, присутствующие в формуле (9.2). В случае квантовой хромодинамики имеется шесть различных перенормировочных множителей. Для их однозначного определения достаточно рассмотреть шесть независимых функций Грина. Независимость результата от выбора конкретных функций Грина, по которым фиксируются перенормировочные множители, является следствием тождеств Уорда - Славнова - Тейлора, которым эти функции подчиняются. Данное утверждение представляет собой нетривиальную часть перенормировочной процедуры. Здесь мы для определенности выберем конкретный набор функций Грина, необходимых для фиксации перенормировочных множителей. Все вычисления будем проводить в импульсном пространстве. Начнем с пропагатора кварков