S
Rξ
(p)=i{
-m+Σ(p)}
-1
,
Σ(p)=(p-m)A(p
2
)+mB(p
2
).
(9.4 а)
Выберем пространственноподобный импульс p̅, удовлетворяющий условию p̅2<0 13a). Тогда можно определить значения величин
13aЭто позволяет избежать расходимостей функций Грина, возникающих при времениподобных импульсах p, удовлетворяющих условию p2≥m2.
A
ξR
(p̅
2
),B
R
(p̅
2
),
(9.4 б)
первая из которых позволяет фиксировать множитель ZF, а вторая — комбинацию из множителей ZF, Zm и Zλ. Затем обратимся к рассмотрению глюонного пропагатора
D
μν
Rξ
(q)=(-q
2
g
μν
+q
μ
q
ν
)D
Rtr
(q)
+q
μν
D
RL
(q).
(9.5 а)
Для простоты рассмотрим случай q=p̅. Фиксируя значения
D
Rtr
(p̅), D
RL
(p̅),
(9.5 6)
получим выражения для глюонного перенормировочного множителя ZB и для комбинации ZB и Zλ. Рассмотрим пропагатор ду́хов13b)
13bВ дальнейшем везде, где это не вызвать недоразумений, индекс u мы будем опускать.
G
R
(p)=
∫
d
4
xe
-ip⋅x
⟨Tω(x)
ω
(0)⟩
0
.
(9.6 а)
Выбирая p=p̅ и задавая величину
G
R
(p̅),
(9.6 6)
фиксируем значение перенормировочного множителя ду́хов Zω. Рассмотрение любой из вершин qqВ, ВВВ, ВВВB или ωωqВ позволяет фиксировать зарядовый перенормировочный множитель Zg. Выберем для этой цели первую из них. Если "усеченную" вершину V определить формулой
∫
d
4
xd
4
ye
-ip1⋅x
e
-ip2⋅x
⟨q
k
(y)B
a
(0)q̅
j
(x)⟩
β
μ
α
0
=
∑
D
ab
(p
2
-p
1
)S
ki
(p
2
)V
il;b,ν
(p
1
,p
2
)S
lj
(p
1
),
μν
βα'
Rξ;α'β'
β'α
V
il;b,ν
it
b
γ
ν
+…,
Rξ;α'β'
il
α'β'
(9.7 a)
то можно определить вершину V при p̅2=-μ2, μ2>0:
V
Rξ
p
2
1
=p
2
2
=(p
1
-p
2
)
2
=-μ
2
(9.7 б)
Как уже отмечалось, выполнение перенормировочной процедуры в значительной мере облегчается тем, что перенормированный лагранжиан ℒξR можно подучить из "затравочного" лагранжиана ℒξuD, проводя замену фигурирующих в нем полей по формулам (8.9). Для того чтобы вычислить любую функцию Грина, запишем ее в импульсном представлении и отсечем все внешние линии. При этом получим величину Γ(p1,…pN-1;m,g,λ), определяемую формулой
Γ(p
1
,…p
N-1
;m,g,λ)δ(∑p)
=K
1
(p
1
)…K
N
(p
N
)
∫
d
4
x
1
…d
4
x
N
e
i∑xk⋅pk
×⟨TΦ
1
(x
1
)…Φ
N
(x
N
)⟩
0
;
(9.8)
где Kk - обратные пропагаторы; для фермионных полей iK(p)=S-1R(p), для глюонных полей iK(p)=D-1R(p) и т.д.13в). Вычислим неперенормированную функцию Грина
13в Отсечение внешних линий устраняет связанные с ним полюса фейнмановских диаграмм. Так как пропагаторы SR и DR перенормированы, функция Грина содержит множитель Z-½Φ для каждой величины KΦ, так что каждой полевой функции Φ возникает эффективный полевой множитель Z½Φ.
ΓuD(p1,…pN-1;m,g,λ),
используя для этого лагранжиан ℒξuD,int (выражение (9.2)). Тогда перенормированная функция Грина ΓR получается из неперенормированной функции Грина ΓuD:
Γ
R
(p
1
,…p
N-1
;m,g,λ)
=Z
-½
…Z
-½
Γ
(p
,…,p
;Z
m
m,Z
g
g,Z
λ
λ).
Φ1
ΦN
uD
1
N-1
(9.9)
Это выражение приобретает более прозрачный смысл, если ввести следующие обозначения для затравочных параметров 14).
14 Массы и капибровочный параметр иногда удобно рассматривать как некоторые константы связи.
m
uqD
=Z
mq
m
q
,
λ
uD
=Z
λ
λ,
g
uD
=Z
g
;
(9.10)
тогда выражение (9.9) принимает вид
Γ
R
(p
1