15) Схема MS может быть сведена к схеме MS заменой выражения dDk̂=ν4-D0 × dDk/(2π)D на выражение dDk̂={ν4-d0/(2π)D} / {(4π)(4-D)/2Γ(3-D/2)}.
Z
=1 - C
α
g
(1-ξ)N
ε
,
F
F
4π
(9.16)
Z
=1 - C
3α
g
N
ε
.
m
4π
(9.17)
Мы будем пользоваться в основном схемой MS, поэтому черту над перенормировочными множителями Z, относящимися к этой схеме, в дальнейшем будем опускать. (В схеме MS множитель Zm не зависит от калибровки. В двухпетлевом приближении это проверено в работе [242], но результат, по-видимому, справедлив во всех порядках теории возмущений вследствие калибровочной независимости массового члена mqq .) Из выражений (9.16) и (9.17) видно, что, определив коэффициент с выражением C=cNε можно написать
c
(1)
= - C
F
(1-ξ) ,
F
(9.18)
c
(1)
= - 3C
F
m
(9.19)
Эти вычисления были проведены во втором порядке теории возмущений 16).
16) Вычисления были проведены Нанолулосом и Россом [208]; Таррач [242] проверил их и исправил тривиальную ошибку, допущенную в оригинальной работе [208].
Вычислим теперь в схеме MS другие перенормировочные константы. Начнем с глюонного пропагатора. Поперечная часть глюонного пропагатора записывается в виде
D
μν
(q,g
u
,m
u
,λ
u
)
utr;ab
=
i
-g
μν
+q
μ
q
ν
/q
2
δ
ab
q
2
+
∑
-g
μμ'
+q
u
q
μ'
/q
2
δ
Π
a'b'
δ
q
2
aa'
μ'ν'
b'b
×
i
-g
ν'ν
+q
ν'
q
ν
/q
2
+ … .
2
(9.20)
В этом выражении во втором порядке теории возмущений не требуется проведения перенормировки константы связи, калибровочного параметра или массы.
Рис. 6. Глюонный пропагатор.
Часть поляризационного оператора Π, обусловленная вкладами ду́хов и глюонов (рис. 6, а), вычислена выше (выражение (5.9)16a). Часть оператора Π, возникающая от вклада кварковой петли (рис. 6, б), для кварка каждого аромата ƒ записывается в виде
16a) Выражение (5.9) получено без учета множителя ν4-D0. Если учесть его, то единственное изменение заключается в замене log(-q2) на log(-q2/ν20).
Π
μν
=
ig
2
∑
t
a
t
b
∫
d
D
k
ν
4-D
Tr(
+m
ƒ
)γ
μ
(
+
+m
ƒ
)γ
ν
.
ƒquark;ab
ij
ij
(2π)
D
0
(k
2
-m
2
ƒ
)[(k+q)-m
2
ƒ
]
ij
Вычисление этого выражения проводится стандартными методами. За исключением множителя Tr tatb, результат совпадает с хорошо известным из КЭД выражением для фотонного поляризационного оператора. Если через nƒ обозначить полное число ароматов кварков, то результат имеет вид
Π
μν
all quarks;ab
=
δ
ab
-2T
F
g
2
(-g
μν
q
2
+q
μ
q
ν
)
16π
2
×
nƒ
{
2
N
ε
n
ƒ
-4
∫
1
dx⋅x(1-x)
∑
log
m
2
ƒ
-x(1-x)q
2
}
.
3
0
ν
2
0
ƒ=1
(9.21)
Во втором порядке теории возмущении можно просуммировать все диаграммы рис. 6, в, где кружками обозначены петли кварков, плюонов или ду́хов. Выделяя из поляризационного оператора тензорную структуру вида
Π
μ'ν'
= -δ
a'b'
(-g
μ'ν'
q
2
+q
μ'
q
ν'
)Π,
a'b'
(9.22 а)
получаем аналог выражения (7.5)
D
μν
q = iδ
-g
μν
+q
μ
q
ν
/q
2
u tr;ab
(1-Π)q
2
(9.22 б)
Введем запись
div
ƒ
=
g,
которая означает, что коэффициенты при члене Nε в выражениях для величин ƒ и g равны. Тогда перенормированный глюонный пропагатор D запишется в виде
D
μν
=Z
-1
D
μν
.