μν
=Z
-1
D
μν
.
R tr;ab
B
u tr;ab
Из уравнений (5.9), (9.20). и (9.21) следует равенство
1-Π
div
=
1+
g
2
{
10C
A
-
8T
F
n
ƒ
}
N
ε
.
32π
2
3
3
Следовательно, в рамках схемы MS в калибровке Ферми - Фейнмана для перенормировочного множителя получаем выражение
Z
B
=1+
α
g
{
10C
A
-
8T
F
n
ƒ
}
N
ε
.
8π
3
3
(9.23)
В произвольной калибровке перенормировочный множитель ZB был вычислен в работах [160, 218]. Соответствующий коэффициент C(1)Bξ равен
C
(1)
=
1
{
10+3ξ-
4n
ƒ
}
.
Bξ
2
3
(9.24)
Опуская вычисления, приведем лишь конечный результат для перенормировочного множителя Zλ17)
17) См., например, работу [222] и цитируемую там литературу. Тождества Славнова-Тейлора, доказанные в § 6, обеспечивают выполнение равенства ZB=Zλ во всех порядках теории возмущений
C
(1)
=C
(1)
λξ
Bξ
(9.25)
Следует отметить, что в калибровке Ландау параметр ξ в однопетлевом приближении не перенормируется. В действительности, как показано в § 6, тождества Славнова — Тейлора обеспечивают справедливость этого утверждения во всех порядках теории возмущений.
Рис. 7. Вершина кварк-глюонного взаимодействия.
В заключение этого параграфа вычислим перенормировочный множитель Zg. Для этого используем вершину ggB. Выбирая обозначения 4-импульсов в соответствии с рис. 7, можно записать выражение для этой вершины во втором порядке теории возмущений в виде (ср. с (9.7))
V
μ
=igγ
μ
t
a
+iΓ
(2)μ
,
uij,a
ij
uij,a
(9.26 а)
где
Γ
(2)μ
(p,p')={Γ
(b)
+Γ
(c)
}
μ
.
uij,a
uij,a
(9.26 б)
Величины Γ(b) и Γ(c) обозначают вклады от диаграмм рис. 7, б и в соответственно. Диаграмма рис. 7, а приводит к первому члену igγt в формуле (9.26 а). Из рассмотренных выше примеров очевидно, что массы кварков не играют pоли в выражениях для перенормировочных множителей Z (за исключением, конечно, множителя Zm), поэтому можно упростить вычисления, положив m=0. При этом следует учитывать только расходящиеся части вершин Γ. Тогда в калибровке Ферми — Фейнмана для рассматриваемой вершины имеем
iΓ
(b)μ
uij,a
div
=
ig
∫
d
D
k̂
×
γβ[(2k-q)μgαβ-(k+q)βgμα+2(q-k)αgμβ](
[(p+k)2+i0][(k-q)2+i0](k2+i0)
C
a
ij
div
=
igC
a
γ
μ
lim
η→0
∫
d
D
k̂
2(2-D)/D-2
ij
(k
2
-iη)
2
div
=
g
3N
ε
C
a
ij
γ
2
16π
2
(9.27 а)
Здесь использованы обозначения
d
D
k̂
≡
d
D
k
ν
4-D
,
(2π)
D
0
C
a
ij
≡
-g
2
∑
t
b
t
c
ƒ
abc
=
1
g
2
[t
b
,t
c
]
ij
ƒ
bca
jl
li
2
=
g
2
i
C
A
t
a
=
3
it
a
g
2
.
2
ij
2
ij
При выводе последнего выражения использовано свойство антисимметрии константы ƒ по отношению к перестановке индексов, благодаря которому можно заменить tbtc на коммутатор ½[tb, tс]. Аналогично получаем выражение для вклада, возникающего от диаграммы рис. 7, в:
iΓ
(c)μ
uij,a
div
=
-i
2
g
∫
d
D
k̂
γ
β
(
+
)γ
μ
(
+
)γ
α
g
αβ
C
'a
[(p+k)
2
+i0][(p'+k)
2
+i0](k
2
+i0)
ij
div
=