Θ
μν
=
i
∑
q
q
γ
μ
D
ν
q - g
μν
i
∑
q
q
q + g
μν
∑
q
m
q
q
q
-
g
αβ
G
μα
G
νβ
+ ¼g
μνG2
+
члены, фиксирующие калибровку + вклад ду́хов.
(10.2)
Далее, существуют токи и заряды, связанные с вращениями в цветовом пространстве. Вывод формул для сохраняющихся токов, отвечающих глобальной внутренней симметрии лагранжиана КХД, мы оставляем читателю в качестве упражнения. Этот вывод представляет собой частный случай цветовых калибровочных преобразований (с постоянными калибровочными параметрами) и приводит к набору токов, не связанных с взаимодействием кварков и глюонов.
Если массы всех кварков равны нулю, то лагранжиан ℒ инвариантен относительно преобразований вида
q
ƒ
→
nƒ
∑
f'=1
U
ƒƒ'
q
ƒ'
,
q
ƒ
→
nƒ
∑
f'=1
V
ƒƒ'
γ
5
q
ƒ'
(10.3)
при условии, что матрицы U и V представляют собой унитарные матрицы размерности nƒ×nƒ. Отсюда следует, что токи
V
μ
qq'
(x)=q̅(x)γ
μ
q'(x) ,
A
μ
qq'
(x)=q̅(x)γ
μ
γ
5
q'(x)
(10.4)
сохраняются каждый в отдельности. Если теперь в лагранжиане
ℒ учесть массовые члены, то сохраняется только
диагональный ток
Vμqq; остальные токи при этом
являются
квазисохраняющимися, т.е. их дивергенции пропорциональны массам кварков.
Вычисление дивергенций этих токов не представляет большой сложности; поскольку
преобразования (10.3) коммутируют с членами лагранжиана
ℒ, описывающими взаимодействие кварков и глюонов,
вычисления можно проводить в терминах свободных полей. В этом случае
использование уравнения Дирака
i
∂
μ
V
μ
qq'
=i(m
q
-m
q'
)
q
q' ;
∂
μ
A
μ
qq'
=i(m
q
-m
q'
)
q
γ
5
q' .
(10.5)
Однако имеется одна тонкость, касающаяся расходимости аксиальных токов. Выражение (10.5) справедливо в случае недиагональных переходов (q≠q'); если же начальный и конечный кварки совпадают (q=q' ), то его следует заменить следующим выражением для дивергенции аксиального тока:
∂
μ
A
μ
=i(m
q
+m
q
)q̅(x)γ
5
q(x)+
T
F
g
2
16π
2
ε
μνρσ
G
μν
(x)G
ρσ
(x).
(10.6)
Это так называемая треугольная аномалия Адлера - Белла - Джакива, которая будет рассмотрена в § 33, 37 и 38.
Также легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для аксиальных A или векторных V токов и полей. Используя преобразования (10.3), для свободных полей получаем
δ(x
0
-y
0
)
[
V
0
qq'
(x),q''(y)]=-δ(x-y)δ
qq''
q'(x)
,
δ(x
0
-y
0
)
[
A
0
qq'
(x),q''(y)]=-δ(x-y)δ
qq''
γ
5
q'(x)
и т.д.
(10.7)
Векторные и аксиальные токи коммутируют с полями глюонов и ду́хов. Одновременные коммутационные соотношения между аксиальными и векторными токами, построенными из свободных полей, проще всего записать, введя матрицы Гелл-Манна λα, действующие в цветовом пространстве (см. приложение В). Если рассматривать кварки трех ароматов (ƒ= 1,2,3) и определить векторные и аксиальные токи в виде
V
μ
α
(x)=
∑
ƒƒ'
q
ƒ
(x)
λ
α
ƒƒ'
γ
μ
q
f'
(x) ,
A
μ
α
(x)=
∑
ƒƒ'
q
ƒ
(x)
λ
α
ƒƒ'
γ
μ
γ
5
q
f'
(x) ,
(10.8)
то возникают следующие коммутационные соотношения:
δ(x
0
-y
0
)[V
0
α
(x),V
μ
β
(y)]=2iδ(x-y)Σƒ
αβδ
V
δ
δ
(x) ,
δ(x