0
-y
0
)[V
0
α
(x),A
μ
β
(y)]=2iδ(x-y)Σƒ
αβδ
A
δ
δ
(x) ,
δ(x
0
-y
0
)[A
0
α
(x),A
μ
β
(y)]=2iδ(x-y)Σƒ
αβδ
V
δ
δ
(x) и т.д.
(10.9)
Соотношения (10.7) и (10.9) получены для токов, составленных из свободных кварковых полей. Однако благодаря наличию δ-функции в правых частях (10.7) и (10.9) они эффективны только для малых расстояний; следовательно, в квантовой хромодинамике из-за свойства асимптотической свободы они остаются справедливыми в таком виде даже при учете взаимодействий между полями кварков и глюонов.
Также, легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для сохраняющихся или квазисохраняющихся токов с гамильтонианом (или лагранжианом). Если ток Jμ сохраняется, то соответствующий ему заряд QJ имеет вид
Q
J
=
∫
d
⃗
xJ
0
(t,
⃗
x)
,
t=x
0
.
Он является интегралом движения и, следовательно, коммутирует с гамильтонианом:
[Q
J
(t),ℋ(t,
⃗
y)]=0.
Здесь ℋ — гамильтониан (плотность функции Гамильтона системы); он связан с тензором энергии-импульса соотношением ℋ=Θ00. Обозначим массовый член, входящий в гамильтониан ℋ, через ℋ':
ℋ'=
∑
q
m
q
q
q.
Тогда, если ток J является квазисохраняющимся, то справедливо соотношение
[Q
J
(t),ℋ'(t,
⃗
y)]=i∂
μ
J
μ
(t,
⃗
y).
Конечно, заряд QJ по-прежнему коммутирует с остальными членами гамильтониана ℋ.
§ 11. Ренормализационная группа
Рассмотрим, например, перенормировку кваркового пропагатора. В калибровке Ферми — Фейнмана в рамках μ-схемы
S
(μ)
R
(p;g,m)=i
1-(4/3)g
2
A
(μ)
R
(p
2
)
-m{1-(4/3)g
2
B
(μ)
R
(p
2
)}
.
(11.1 а)
где
A
(μ)
R
(p
2
)=
2
∫
1
16π
2
0
dx(1-x)
xm
2
+x(1-x)μ
2
xm
2
-x(1-x)p
2
,
B
(μ)
R
(p
2
)=
-2
∫
1
16π
2
0
dx(1+x)log
xm
2
+x(1-x)μ
2
xm
2
-x(1-x)p
2
,
(11.1 б)
В рамках схемы MS выражения для пропагатора S и функций A и B имеют вид
S
(ν)
R
(p;g,m)=i
1-(4/3)g
2
A
R
(p
2
,ν)
-m{1-(4/3)g
2
B
R
(p
2
,ν)
,
(11.2 а)
A
R
=
1
16π
2
{
-1-2
∫
1
0
dx(1-x)log
xm
2
-x(1-x)p
2
ν
2
0
}
;
B
R
=
1
16π
2
{
1+2
∫
1
0
dx(1+x)log
xm
2
-x(1-x)p
2
ν
2
0
}
.
(11.2 б)
Видно, что перенормировочная процедура вводит в функции Грина зависимость от произвольного параметра размерности массы: это точка нормировки μ2 в μ-схеме или шкала масс ν2 в схеме MS.
Начнем с рассмотрения μ-схемы перенормировки. Предположим, что точка нормировки изменилась и вместо прежнего значения μ взято новое значение μ'. Если использовать лишь выражения (11.16), в которых параметр μ заменен на μ', то выражение для кваркового пропагатора S(μ')R будет отличаться от прежнего. Но мы хотим построить теорию, которая была бы определена однозначно; следовательно, необходимо скомпенсировать изменение кваркового пропагатора. Этого можно добиться, если принять, что масса кварка тоже зависит от точки нормировки μ.
Поэтому перепишем выражение (11.1а) для пропагатора в виде
S
(μ)
R
(p;g,m(μ))=i
1-(4/3)g
2
A
(μ)
R
(p
2
)
-m(μ){1-(4/3)g
2
B
(μ)
R
(p
2
)}
.
(11.3)
Существование зависимости массы кварка от точки нормировки очевидно из выражения для перенормированного пропагатора SR, записанного через неперенормированный пропагатор: