S
(μ)
R
(p;g,m(μ))
=
Z
-1
F
(μ)S
uD
(p;g,m
uD
);
m
uD
=
Z
m
(μ)m(μ).
(11.4)
Поэтому для обеспечения независимости кваркового пропагатора от точки нормировки μ достаточно подходящим образом выбрать зависимости перенормировочных множителей ZF и Zm от этой точки. Другими словами, если известно выражение для пропагатора S(μ)R при (p;g,m(μ)), то можно вычислить его значение и при (p=μ';g,m(μ)). После этого определим пропагатор S(μ')R, нормированный в точке μ',в виде
S
(μ')
R
(μ',g,m(μ'))=
i
-p(μ')
.
Потребовав равенства выражений для пропагаторов при p=μ', можно определить функции m=(μ') и ZF=(μ')/ZF=(μ). В результате, например, получаем следующее выражение для функции m=(μ'):
m(μ')=m(μ)
{
1-
2
3
α
g
∫
1
π
0
dx(1+x)log
xm+x(1-x)μ'
2
xm+x(1-x)μ
2
}
.
В рамках схемы MS рассуждение оказывается более простым, но вместе с тем и более тонким 17б). После проведения регуляризации во всех выражениях возникает произвольный параметр ν0, имеющий размерность массы. Если мы хотим получить функции Грина, не зависящие от этого произвольного параметра ν0, то этого можно добиться, отбросив в возникающих выражениях не только (4π)ε/2Γ(ε/2), а весь член (4π)ε/2Γ(ε/2)νε0. Единственный способ достичь этого состоит во введении нового параметра ν размерности массы, так что теперь перенормировочный множитель Z заменяется на комбинацию Z(ν)=(ν0/ν)εZ; которая сократится с множителем Nν0=2/ε-γE+log4π+logν0. Перенормированные функции Грина будут зависеть от параметра ν, но не будут уже зависеть от ν0. Предположим, что мы хотим изменить значение параметра ν, но так, чтобы при этом не возникло физических эффектов. Для этого достаточно ввести зависимость от параметра ν в константу связи g, массу кварка m и калибровочный параметр ξ (в дополнение к зависимости от ν перенормировочного множителя Z). Для функции Грина Γ с отсеченными внешними линиями получаем
17б) Используемая здесь перенормировочная схема MS несколько отличается от стандартной схемы MS, хотя по существу полностью ей эквивалентна.
Γ
R
(p
1
,…,p
N-1
;g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)
=Z
-½
Φ1
(ν)…Z
½
ΦN
(ν)Γ
uD
(p
1
,…,p
N-1
;g
uD
,m
uD
,ξ
uD
);
(11.5)
g
uD
=Z
g
(ν)g(ν),
m
uD
=Z
m
(ν)m(ν),
λ
uD
=Z
λ
(ν)λ(ν),
ξ=1-λ
-1
(11.6)
Легко видеть, какая требуется зависимость от параметра ν. Напомним, что параметр ν0 входил во все выражения в комбинации
d
D
k̂=
d
D
k
(2π)
D
ν
4-D
0
,
так что зависимость от ν0 имеется только в расходящихся частях интегралов
Γ(2/ε)(4π)
ε/2
(
ν
2
0
)
ε/2
.
Следовательно, все перенормировочные множители Zν имеют вид
Z
j
(ν)=1+
C
(1)
j
(ν)
g
2
16π
2
+…,
(11.7 а)
C
(1)
(ν)=c
(1)
j
j
{
2
ε
-γ
E
+log4π+log
ν
2
0
ν
2
}
.
(11.7 б)
Коэффициенты перед членом log ν2 с точностью до знака совпадают с ранее вычисленными коэффициентами c(1)j. В низших порядках теории возмущений легко показать, что в μ-схеме перенормировки это утверждение справедливо и в отношении коэффициентов перед членом log μ2.
Преобразования вида μ→μ' (или ν→ν') образуют ренормализационную группу17в), впервые введенную в рассмотрение Штюкельбергом и Петерманом [237] (см. также [45, 140]). Инвариантность физических величин по отношению к этой группе преобразований можно использовать (см. § 20) для изучения асимптотического поведения функций Грина. Эффективнее всего это можно сделать, используя уравнение, полученное Калланом [59] и Симанзиком [239], которое рассматривается в следующем параграфе.
17в) В действительности групповая структура возникает только в рамках заданной перенормировочной схемы. Если включить в рассмотрение преобразования вида Τ(R1→R), изменяющиеся при переходе от одной схемы к другой, то в результате возникает расслоенное пространство.
§ 12. Уравнение Каллана - Симанзика
Уравнение Кадлана — Симанзика (КС) проще всего получить, заметив, что неперенормированные величины Γu, gu, mu, ξu не зависят от значения параметра ν (скажем, в перенормированной схеме MS). Исходя из этого, на основании формул (11.5) и (11.6) немедленно получаем уравнение
νd
dν
Γ
uD
(p
1
,…,p
N-1
;g
uD
,m
uD
,λ
uD
)=0,
т.е.
{
ν∂
∂ν
+g∂
∂
∂g
+(1-ξ)λδ