∂
∂λ
+
∑
q
m
q
γ
m,q
∂
∂m
q
-γ
Γ
}
×Γ
R
(p
1
,…,p
N-1
;g(ν),m(ν),λ(ν);ν)=0.
(12.1)
Здесь введены универсальные функции β, γk и δ, определяемые соотношениями
ν
d
dν
g(ν)=g(ν)β,
ν
d
dν
m
q
(ν)=m
q
(ν)γ
m,q
,
ν
d
dν
λ(ν)={1-λ(ν)}δ.
(12.2)
и
Z
-1
=Z
½
…Z
½
Γ
Φ1
ΦN
,
Z
-1
ν
d
Z
Γ
=γ
Γ
Γ
dν
.
(12.3)
Функции β, γ и δ можно вычислить, если использовать уравнение (9.10) и учесть, что величины gu, mu и ξu не зависят от параметра ν:
β=-Z
-1
g
(ν)ν
d
dν
Z
g
(ν),
γ
m,q
=-Z
-1
m
(ν)ν
d
dν
Z
m
(ν),
δ=-Z
λ
(ν)ν
d
Z
-1
dν
λ
(ν).
(12.4)
Уравнение (12.1) в приведенном выше виде неудобно, так как содержит частную производную по параметру ν∂/∂ν. Но его можно представить в более удобной форме, если использовать соображения размерности. Предположим, что размерность величины ΓR равна ρΓ; тогда величина ν-ρΓΓR является безразмерной19), поэтому она может зависеть только от безразмерных отношений размерных параметров. Изменим масштаб импульсов, являющихся аргументами функции Грина, в λ раз: pi→λpi. В результате получим
19) Размерность полей, входящих в определение функции Грина, легко вычислить, если учесть, что действие Α=∫d4xℒ(x) безразмерно. Отсюда следует, что размерность кварковых полей [q]=[M]3/2, полей д́ухов [ω]=[M], глюонных полей [B]=[M]. Размерность же функции Грина выражается через размерности полей, фигурирующих в её определении. Например, размерность фермионнного пропагатора ρS=-1 (слагаемые 3/2+3/2 возникают из размерностей полей кварков, а 4 - из элемента объёма четырёхмерного пространства d4x).
ν
-ρΓ
Γ
R
(λp
1
,…,λp
N-1
;g,m,a
-1
;ν) = F(λp
1
/ν,…,λp
N-1
/ν;g,m/ν,a
-1
).
Чтобы отличать масштаб изменения импульсов λ от калибровочного параметра, последний обозначим через a=λ-1. Теперь, заменяя частную производную ν∂/∂ν на производную -λ∂/∂λ, получаем уравнение Каллана-Симанзика
{
-
∂
∂logλ
+gβ
∂
∂g
+(a
-1
)δ
∂
∂a
-1
+
∑
q
m
q
(γ
m,q
-1)
∂
∂m
q
+ρ
Γ
-γ
Γ
}
×Γ
R
(λp
1
,…,λp
N-1
;g,m,ξ,ν)=0.
(12.5)
Чтобы решить это уравнение, введем эффективные, или "бегущие", параметры, определяемые соотношениями
d
g
(λ)
d logλ
=
g
(λ)β(
g
(λ)) ,
d
m
(λ)
d logλ
=
m
(λ)γ
m,q
,
d
a
(λ)
-1
d logλ
=
a
-1
δ ,
(12.6 а)
и удовлетворяющие граничным условиям
g
λ=1
=g(ν) ,
m
λ=1
=m(ν) ,
a
λ=1
=a(ν) .
(12.6 б)
Тогда решение уравнения Каллана—Симанзика можно записать в виде
Γ
R
(λp
1
,…,λp
N-1
;g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)
=λ
ρΓ
Γ
R
(p
1
,…,p
N-1
;
g
(λ),
m
(λ),
a
(λ)
-1
;ν)
× exp
{
-
∫
log λ
0
d log γ'γ
Γ
(
g
(λ'),
m
(λ'),
a
(λ')
-1
)
}
.
(12.7)
Из этого выражения видно, что при изменении импульсов в λ раз функция Грина ΓR не умножается просто на величину λρΓ как этого следовало ожидать из размерного анализа, а приобретает дополнительный множитель (экспоненту, стоящую в правой части (12.7)). Именно поэтому величину γΓ обычно называют аномальной размерностью функции Грина ΓR. С этой точки зрения ренормализационную группу можно интерпретировать как способ обеспечения масштабной инвариантности в квантовой теории калибровочных полей21). Масштабная инвариантность таких теорий нетривиальна ввиду бесконечного характера проводимых перенормировок, в ходе которых вводится внешний по отношению к задаче масштаб масс.
21) Такой подход к вопросу о ренормализационной группе развит в работах [60, 74].
Следует отметить, что выражение (12.7) справедливо всегда безотносительно к теории возмущений; однако на практике для получения реальных результатов необходимо использовать теорию возмущений.