(p+k)
4
+S
u
(p)+S
u
(p)
⎫
⎬
⎭
.
(13.4)
где
M
0
≡
:
q
0
q
0
: .
Рис. 9. Перенормировка оператора qq.
Соответствующие фейнмановские диаграммы приведены на рис. 9. Первое слагаемое правой части (13.4) соответствует диаграмме рис. 9, а , два последних слагаемых - диаграмме рис. 9, б, а интеграл соответствует диаграмме рис. 9, в. Вычисления проведены в приближении безмассовых кварков. Легко убедиться в том, что пренебрежение массой кварков не влияет на характер расходимостей. Очевидно, что расходящаяся часть одного из кварковых пропагаторов Su в правой части (13.4) точно сокращается с фермионным перенормировочным множителем ZF; таким образом, остается только расходимость, связанная с интегралом:
-iC
F
g
2
∫
d
D
k
(2π)
D
ν
4-D
0
γ
μ
γ
μ
k
2
(p+k)
2
div
=
4g
2
C
F
16π
2
Γ(ε/2)(4π)
ε/2
ν
ε
0
.
Добавляя вклад от расходимости, обусловленной вторым кварковым пропагатором Su , получаем
Z
M
(ν)=1-
3C
F
α
g
4π
⎧
⎨
⎩
2
ε
+log 4π-γ
E
-log ν
2
/ν
2
0
⎫
⎬
⎭
.
(13.5)
Вычисление перенормировочного множителя ZM проведено в калибровке Ферми-Фейнмана, но нетрудно убедиться, что он является величиной, не зависящей от калибровки.
Если бы мы провели вычисления не для величины qq, а, скажем, для величин qγμq или qγμγ5q' , то получили бы, что аномальные размерности этих операторов равны нулю. Как уже говорилось, это утверждение является частным случаем общего результата, к доказательству которого мы переходим. Пусть ток Jμ представляет собой квазисохраняющийся оператор, т.е. в пределе, когда массы частиц стремятся к нулю, он удовлетворяет условию ∂μJμ(x)=0. Рассмотрим какое-нибудь хронологическое произведение произвольных полей Φi и тока Jμ
ΤJ
μ
(x)Φ
1
(y
1
)…Φ
N
(y
N
) .
Тогда, используя соотношение ∂0θ(x0-y0) = δ(x0-y0), можно получить тождество Уорда
∂ΤJμ(x)Φ1(y1)…ΦN(yN)
=
Τ(∂
μ
J
μ
(x))Φ
1
(y
1
)…Φ
N
(y
N
)
+
N
∑
k=1
δ(x
0
-y
0
k
)ΤΦ
1
(y
1
)
…
[J
0
(x),Φ
k
(y
k
)]
…
Φ
N
(y
N
) .
(13.6)
Пусть справедливо равенство
δ(x
0
-y
0
k
)[J
0
(x),Φ
k
(y
k
]
=
Φ'
k
(y)
k
δ(x-k
k
) ;
тогда, если множители ZJ и ZD представляют собой аномальные размерности тока Jμ и его дивергенции ∂μJμ соответственно, а множители γJ и γD являются коэффициентами перед членом -(g2/16π2)Nε в выражениях для ZJ и ZD, то, применяя к левой и правой частям (13.6) оператор νd/dν, получаем
γ
J
∂
μ
ΤJ
μ
(x)Φ
1
(y
1
)…Φ
N
(y
N
)
=
Τ
⎧
⎨
⎩
∑
γ
m
m
∂
∂m
∂
μ
J
μ
(x)
⎫
⎬
⎭
Φ
1
(y
1
…Φ
N
(y
N
)
+
γ
D
Τ(∂
μ
J
μ
(x))Φ
1
(y
1
)…Φ
N
(y
N
) .
(13.7)
Уравнение (13.7) может выполняться только в том случае, если γJ=0, а множители γD и γm удовлетворяют условию
γ
D
∂
μ
J
μ
=-
∑
γ
m
m
∂
∂m
∂
μ
J
μ
.
(13.8)
Уравнение (13.8) можно проверить для частного случая, когда ток Jμ записывается в виде Jμ=qγμq' . При этом используем полученное выше выражение для дивергенции тока
∂μJμ = i(m-m')qq,
а также явный вид аномальной размерности γm , которая вычислена в § 14. Или же можно учесть соотношения (9.17) и (11.6), чтобы убедиться в том, что во втором порядке теории возмущений выполняются равенства
muD(qq)uD = mRZm(qq)uD = MRZM(qq)uD = MR(qq)R ,
с перенормировочным множителем Zm , равным только что вычисленному множителю ZM .
§14. Бегущая константа связи и бегущая масса в КХД; асимптотическая свобода