Вернемся к уравнениям (12.6) и (12.7). Чтобы решить уравнение (12.6), предположим, что при некотором значении параметра ν перенормированная константа связи достаточно мала для того, чтобы фуыкции β, γ, δ, можно было разложить в ряд по степеням константы связи g(ν) :
β
=
-
⎧
⎨
⎩
β
0
g
2
(ν)
16π
2
+β
1
⎧
⎪
⎩
g
2
(ν)
16π
2
⎫2
⎪
⎭
+β
2
⎧
⎪
⎩
g
2
(ν)
16π
2
⎫3
⎪
⎭
+…
⎫
⎬
⎭
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
γ
m
=
γ
(0)
m
g
2
(ν)
16π
2
+γ
(1)
m
⎧
⎪
⎩
g
2
(ν)
16π
2
⎫2
⎪
⎭
+… ,
δ
=
δ
(0)
g
2
(ν)
16π
2
+δ
(1)
⎧
⎪
⎩
g
2
(ν)
16π
2
⎫2
⎪
⎭
+… .
(14.1)
Значение коэффициента β0 можно получить из выражений (9.30) и (12.4):
β
0
=
1
3
{11C
A
-4n
ƒ
Τ
F
}
=
1
3
(33-2n
ƒ
) .
(14.2 а)
Используя результат вычислений перенормировочного множителя Zg во втором [64, 179] и в третьем [241] порядках теории возмущений, для коэффициентов β1 и β2 получаем следующие выражения 21а):
21а) Значения коэффициентов β0 и β1 не зависят от перенормировочной схемы; выражение для коэффициента β2 выписано для случая схемы MS.
β
1
=
34
3
C
2
A
-
20
3
C
A
Τ
F
n
ƒ
-4C
F
Τ
F
n
ƒ
=102-
38
3
n
ƒ
;
β
2
=
2857
54
C
3
A
-
1415
27
C
2
A
Τ
F
n
ƒ
+
158
27
C
A
Τ
2
F
n
2
ƒ
-
205
9
C
A
C
F
Τ
F
n
ƒ
+
44
9
C
F
Τ
2
F
n
2
ƒ
+2C
2
F
Τ
F
n
ƒ
=
2857
2
-
5033
18
n
ƒ
+
325
54
n
2
ƒ
.
(14.2 6)
Вычислим эффективную константу g в низшем порядке теории возмущений. Введем стандартное обозначение αS=g2/4π. Уравнение (12.6а) в низшем порядке теории возмущений имеет вид
d
g
d
log λ
=
-β
0
g
3
16π
2
,
и при λ2=Q2/ν2 приводит к следующему результату для эффективной константы связи:
∫
αs(Q2)
αg(ν)
d
α
s
α
s
2
=
-β
0
2π
∫
(1/2)log Q2/ν2
0
d
log λ' ,
α
s
(Q
2
)=
α
g
(ν)
1+α
g
β
0
(log Q
2
/ν
2
)/4π
.
(14.3)
Последнее выражение удобно записать через инвариантный параметр Λ, выбирая его таким образом, чтобы оно приняло вид
α
s
(Q
2
)=
4π
β
0
log Q
2
/Λ
2
;
Λ
2
=ν
2
e
-4π/β0αg(ν)
.
(14.4 а)
Подставляя выражение для коэффициента β0 , получаем следующую формулу, описывающую зависимость константы связи αs от переданного 4-импульса Q:
α
s
(Q
2
)=
12π
(33-2n
ƒ
)log Q
2
/Λ
2
(14.4 б)
Если учесть члены второго порядка малости по константе связи αg в разложении для ренормгрупповой (β -функции (член ∼ (g2(ν)/16π2)2 в ( 14.1)), то для бегущей константы связи получим
α
(2)
s
(Q