26а Множители 1/2 в формулах (17.2) возникают в результате усреднения по спину исходного нуклона и "спиральности" виртуального фотона.
L
μν
=
1
2
∑
σσ'
u
(k',σ')γ
u
u(k,σ)
[
u
(k',σ')γ
u
u(k,σ)]
*
=
2(k
μ
k'
ν
+k
ν
k'
μ
-k⋅k'g
μν
) ,
W
μν
(p,q)
=
1
2
1
2
∑
τ
∑
Γ
(2π)
6
δ(p+q-p
Γ
)
⟨p,τ|J
μ
(0)
+
|Γ⟩
×
⟨Γ|J
ν
(0)|p,τ⟩.
(17.2 а)
Конечно, эрмитово-сопряженный электромагнитный ток Jν+ удовлетворяет равенству Jν+=Jν, но мы записали выражение (17.2а) в общем виде, справедливом и для процессов, обусловленных слабыми токами. Выражение (17.2а) можно записать в другом виде 26б
26б) В эквивалентности такой записи можно убедиться, вставив в формулу (17.2 б) сумму по полному набору состояний ΣΓ|Γ⟩⟨Γ| и заметив, что в силу закона сохранения энергии-импульса вклад второго слагаемого равен нулю.
W
μν
(p,q)=
1
2
(2π)
2
∫
d
4
ze
iq⋅z
⟨p|[J
μ
(z)
+
,J
ν
(0)]|p⟩,
(17.2 б)
где подразумевается усреднение по спину адрона-мишени τ .
Рассмотрим общий случай слабых или электромагнитных токов. Общее выражение для тензора Wμν, записанное в терминах инвариантов, характеризующих процесс рассеяния, имеет вид
W
μν
(p,q)
=
(-g
μν
+q
μ
q
ν
/q
2
)W
1
+
1
m
2
h
(p
μ
-νp
μ
/q
2
)(p
ν
-νq
ν
/q
2
)W
2
+
i
ε
μναβ
pαqβ
2m
2
h
W
3
.
(17.3)
Другие возможные члены при свертке с лептонным тензором Lμν обращаются в нуль. Соответствующие сечения рассеяния в лабораторной системе отсчета (в которой адрон h покоится) имеют вид26в)
26в) Все формулы относятся к процессам рассеяния электронов. Формулы для рассеяния μ-мезонов аналогичны. Для случая рассеяния нейтрино мы будем рассматривать только процессы, вызванные заряженными токами.
dσe
dΩdk'0
=
α
2
4mhk
2
0 sin4(θ/2)
⎧
⎨
⎩
W
e
2
cos
2
θ
2
+2W
e
1
sin
2
θ
2
⎫
⎬
⎭
,
(17.4 а)
dσν/ν
dΩdk'0
=
G
2
F k'
2
0
2π2m
h
⎧
⎨
⎩
W
ν±
2
cos
2
θ
2
+2W
ν±
1
sin
2
θ
2
±
k0+k'0
2mh
W
ν±
3
⎫
⎬
⎭
,
(17.4 б)
где θ — угол между векторами ⃗k и ⃗k' , dΩ= d cos θdφ, в формуле (17.4 б) знаки +(—) относятся к рассеянию ν(ν), GF — постоянная Ферми, которую можно выразить через константу связи и массу W-бозона:
G
F
=√
2
g
2
w
/8M
2
w
.
Функции Wi являются инвариантами и зависят от переменных Q2 и ν. Удобно определить структурные функции 27)
27) Определенные таким образом функции ƒi несколько отличаются от стандартных функций F, а именно ƒ1=2xF1, ƒ2=F2, ƒ3=F3. Такой способ введения структурных функций упрощает уравнения КХД, которые будут выписаны ниже. (Функции ƒ называются структурными, так как в системе бесконечного импупьса они описывают вероятность обнаружения в адроне партона с долей импупьса x . — Прим. перев.)
ƒ
a
1
(x,Q
2
)=2xW
a
1
,
ƒ
a
2
(x,Q
2
)=
ν
m
2
h
W
a
2
,
ƒ
a
3
(x,Q
2
)=
Q2
2mh
W
a
3
,
(17.5)
где индекс а обозначает процессы ( e/μh, νh, νh. Иногда вместо структурной функции ƒa1 используется продольная структурная функция
Формулу (17.3) удобно переписать в терминах структурных функций ƒai, небрегая импульсами qμ и qν (которые при свертке с лептонным тензором Lμν обращаются в нуль)27а):