)
→ƒ
a
i
(x)
(17.12)
при Q2→∞ и фиксированном x .
Как будет показано ниже, КХД подтверждает наличие скейлинга в том смысле, что в рамках квантовой хромодинамики предсказывается его существование с точностью до логарифмических поправок (log Q2/Λ2)2. Более того, эти поправки можно вычислить, и полученные результаты подтверждаются экспериментальными измерениями нарушения скейлинга.
§18. Операторное разложение
Для строгого анализа произведения операторов, взятых в точках, разделенных малым или светоподобным интервалом, служит метод операторного разложения (operator product expansion — OPE)29). Обсуждение этого метода начнем с простейшего случая хронологического произведения двух свободных безмассовых скалярных полей Τφ(x)φ(y). В пределе x→y это произведение сингулярно. Но сингулярность представляет собой просто c-число. Ее можно выделить из Τ-произведения, записав его в виде
29) Метод операторного разложения был предложен Вильсоном [268], а затем развит для случая малых расстояний в работах [270, 281] и др. Случай операторов, взятых на световом конусе, рассмотрен в работах [51, 128]. Для расчетов процессов глубоконеулругого рассеяния этот метод был применен в работе [70]; использование операторного разложения в КХД обсуждается в статьях [142, 161, 162].
Τ
φ(x)φ(y)
=
Δ(x-y)1
+
:φ(x)φ(y): ,
где 1 — единичный оператор, а Δ — пропагатор скалярного поля
Δ(x)=
1
(2π)4
∫
d
4
k e
-ik⋅x
1
k2+i0
=
1
(2π)2
⋅
1
x2+i0
.
В пределе x→y оператор :φ(x)φ(y): и, конечно, единичный оператор 1 являются регулярными величинами.
В общем случае произведение локальных (элементарных или составных) операторов A и B, взятых в точках x и y , разделенных малым интервалом, можно записать в виде вильсоновского разложения
TA(x)B(y)=
∑
t
C
t
(x-y)N
t
(x,y)
,
(18.1)
где вильсоновские коэффициенты Ct в общем случае представляют собой сингулярные c-числовые функции разности x-y, a Nt(x,у) - билокальные операторы, регулярные в пределе x→y. Последние обозначены буквой N, чтобы подчеркнуть, что они являются составными нормально упорядоченными операторами. Разложение вида (18.1) является не чем иным, так обобщением разложения в случае свободных полей. Запишем T-произведение двух операторов А(х) и B(х) в виде
TA(x)B(y)=
∑
i n
n!
∫
d
z
1
…
d
z
n
TA
0
(x)B
0
(y)ℒ
0
int
(z
1
)…ℒ
(z
n
) .
Здесь индекс 0 означает, что соответствующие величины строятся из свободных полевых функций. Применяя к этому выражению теорему Вика, приходим к разложению (18.1). Но необходимость записи приведенного выражения в общем виде возникает довольно редко. Если нас интересует поведение произведения операторов в пределе x→y, то можно прибегнуть к более простому способу. А именно достаточно рассмотреть базис, образованный всеми операторами, обладающими теми же квантовыми числами и трансформационными свойствами, что и исходное произведение AB (в частности, если операторы A и B скалярные и калибровочно-инвариантные, то при построении базиса дрлжны быть рассмотрены только скалярные и калибровочноинвариантные операторы). В этом случае имеем операторы
1,
:
q
(x)q(y):,
:
q
(x)
q(y):,…,
:(
q
(x)q(y))
2
:,…,
:G(x)G(y):,…
(18.2)
т.е. бесконечную последовательность операторов. Но в пределе x→y требуются только некоторые из них (иногда для выяснения лидирующего поведения достаточно одного). Это можно показать следующим образом. Пусть размерность оператора N равна pN; тогда среди операторов (18.2) низшей размерностью обладают операторы
1(p
1
=0),
:
q
q:(p
=3),
:
q
q:(p
q
=4),
и
:G
2
:(p
G2
=4).
Если предположить, что размерность каждого из операторов A и B равна 3, то простой подсчет размерностей позволяет заключить, что размерность вильсоновского коэффициента C1 равна 6, коэффициент Cqq имеет размерность 3, а размерность коэффициентов CqDq и CG2 равна 2. Следовательно, явно выделяя массу из коэффициента Cqq , получаем
C
1
(x-y)≈(x-y)
-6
,
C
(x-y)≈m(x-y)
-2
,
C
qDq
(x-y)≈(x-y)
-2
,
C
G2
(x-y)≈(x-y)
-2
,
(18.3)
где х6 означает (х⋅х)3, х-2 означает 1/х2 и т.д. Очевидно, что эти соотношения точно выполняются лишь в случае свободных полей. Асимптотическая свобода КХД гарантирует, что поправки к соотношениям (18.3) могут быть только логарифмическими. Эти поправки не вносят существенных изменений во все проводимые рассуждения.
Коэффициенты при других операторах в пределе x→0 оказываются конечными. Если теперь взять какой-нибудь матричный элемент от разложения (18.1):
⟨Φ|TA(x)B(0)|Ψ⟩
=
x→0
C
1
(x)⟨Φ|Ψ⟩+
C
(x)
⟨Φ|:
q
(0)q(0):|Ψ⟩
+
C
qDq
(x)
⟨Φ|:
q
(0)
q(0):|Ψ⟩
+
C
G2
(x)
⟨Φ|:G
2
(0):|Ψ⟩+…
(18.4)
то из регулярности операторов
Nt следует, что в пределе
x→0 поведение левой части (18.4) определяется
вильсоновскими коэффициентами, умноженными на конечные константы
⟨Φ|Nt|Ψ⟩. Таким образом, в пределе
x→0 лидирующее поведение хронологического произведения
операторов
TA(x)B(0) определяется коэффициентом
C1(x), а старшие поправки контролируются
коэффициентами
Cqq,
Cq