Tq
β
(x)
q
δ
(y)=
-:
q
δ
(y)q
β
(x):
+S
βδ
(x-y) ,
и свойства матриц λ и γ (приложения А и В). Заменим пропагатор S выражением, определяющим его поведение на световом конусе:
S(z)
≃
z2→0
i
(2π)2(z-i0)2
,
которое легко получить из формулы для пропагатора
S(z)=
i
(2π)4
∫
d
4
p e
-ip⋅z
p2-m2+d0
(приложение Е). После некоторых вычислений с γ-матрицами (приложение А) формулу (18.9) можно привести к виду
TV
μ
a
(x)V
ν
b
(y)
=
z2→0
2i
∑
(iƒ
abc
+d
abc
)
×
⎧
⎨
⎩
S
μανβ
zα
(2π)2(z2-i0)2
:
q
(x)λ
c
γ
β
q(y):
+
iε
μανβ
zα
(2π)2(z2-i0)2
:
q
(x)λ
c
γ
β
γ
5
q(y):
⎫
⎬
⎭
+
(x↔y, a↔b, μ↔ν) + постоянный член
(18.10)
Постоянный член
6δab(gμνz2-2zμzν)
π2(z2-i0)4
1
не выписан в явном виде, так как он не дает, вклада в коммутатор, фигурирующий в выражении для адронного тензора Wμν (в других случаях, например при вычислении ⟨TVaVb⟩0 , этот член может оказаться лидирующим). Полагая затем y=0 и разлагая регулярные операторы :q…q: в ряды по степеням переменной z, получаем следующее разложение хронологического произведения TVμa(z)Vνb(0) на световом конусе:
TV
μ
a
(z)V
ν
b
(0)
=
z2→0
-i
∑
n нечетн
d
abc
S
μανβ
zα
π2(z2-i0)2
⋅
zμ1…zμn
n!
×
:
q
(0)λ
c
γ
β
D
μ1
…D
μn
q(0):
+
-i
∑
n нечетн
ƒ
abc
ε
μανβ
zα
π2(z2-i0)2
⋅
zμ1…zμn
n!
×
:
q
(0)λ
c
γ
β
γ
5
D
μ1
…D
μn
q(0):
+ постоянный член + градиентные члены
+ нечетные по перестановкам (μ↔ν, a↔b) члены
(18.11)
Выражение (18.11) приведено к такому виду, что все фигурирующие в нем производные действуют на функции, стоящие справа от них. Чтобы добиться этого, в случае необходимости добавлены градиентные члены. Нечетные относительно перестановок (ν↔ν , a↔b) члены явно не выписаны. При подстановке их в выражение для Wμν все они обращаются в нуль, так как мы рассматриваем диагональные матричные элементы ⟨p|TJJ|p⟩29б).
29б) Для процессов, в расчетах которых фигурируют недиагональные матричные элементы, необходимо учитывать градиентные члены. Пример такой ситуации приведен в§ 27, п. 3.
В выражении (18.11) полезно произвести некоторую перегруппировку членов. Мы не будем рассматривать здесь общий случай, а просто продемонстрируем этот метод на примере произведения двух электромагнитных токов. В этом случае (18.8) и (18.11) приводят к следующему выражению (здесь опущены градиентные, постоянные и нечетные по перестановке μ↔ν члены, а также индекс em):
TJ
μ
(z)J
ν
(0)
=
z2→0
i
∑
n нечетн
S
μανβ
-zα
π2(z2-i0)2
⋅
zμ1…zμn
n!
×
:
q
(0)Q
2
e
γ
β
D
μ1
…D
μn
q(0): ,
где Qe — оператор электрического заряда, действующий в пространстве ароматов:
Q
e
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎩
2/3
0
-1/3
0
-1/3
⎫
⎪
⎪
⎪
⎭
=
1
2
⎛
⎜
⎝
λ
3
+
1
√3
λ
8
⎞
⎟
⎠
.
Далее разобьем это выражение на два члена, один из которых пропорционален тензору gμν (в дальнейшем он будет отождествлен со структурной функцией ƒ1, а другой не зависит от него (он приводят к функции ƒ2). Это легко сделать, используя явный вид тензоров Sμανβ. После некоторых переобозначений индексов получаем
TJ
μ
(z)J
ν
(0)
=
z2→0
i
⎧
⎨
⎩
g
μν
1
π2(z2-i0)2
∑
n четн
z
μ1
…z
μn
1
(n-1)!
×
:
q
(0)Q
2
e
γ
μ1
D
μ2
…D
μ2
q(0):
+
-1
2π2(z2-i0)