Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

∑

^{n четн}

z

_μ1

…z

_μn

1

n!

×

[:

q

(0)Q

₂

^e

γ

^μ

D

^ν

D

^μ₁

…D

^μ_n

q(0):+(μ↔ν)]

⎫

⎬

⎭

(18.12)

где (во втором члене в правой части) использовано равенство z_α/(z²-i0)²=-½∂_α(z²-0)^-1, при помощи которого действие производной ∂_α переносится на переменную z_μ1. Наконец, разобьем тензор Q²_e на компоненту, пропорциональную единичной матрице (являющуюся синглетом по отношению к преобразованиям группы аромата SU_F(3)), и компоненту, пропорциональную оператору Q_e и, следовательно, несинглетную по отношению к преобразованиям группы аромата:

Q

₂

^e =c_eNSQ_e+c_eF=

1

6 λ³+

1

6√3 λ⁸+

2

9 ;

c_eNS=1/3, c_eF=2/9.

(18.13)

Окончательно получаем выражение для хронологического произведения двух электромагнитных токов в виде

TJ

^μ

(z)J

^ν

(0)

=

-g

^μν

i

π²(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

z

_μ1

…z

_μn

i^n-1

n-1

×

⎧

⎨

⎩

1

6

N

_(e)μ1…μn

^NS,3

(0)+

1

6√3

N

_(e)μ1…μn

^NS,8

(0)+

2

9

N

_(e)μ1…μn

^F

(0)

⎫

⎬

⎭

+

i

2π²(z²-i0)

 

∑

^{n четн}

z

_μ1

…z

_μn

i

^n-1

×

⎧

⎨

⎩

1

6

N

_(e)μ1…μn

^NS,3

(0)+

1

6√3

N

_(e)μ1…μn

^NS,8

(0)

+

2

9

N

_(e)μ1…μn

^F

(0)+(μ↔ν)

⎫

⎬

⎭

(18.14 а)

где введены обозначения

N

_(e)μ1…μn

^NS,a

=

i^n-1

(n-2)!

:

 

∑

^ƒƒ'

q

(0)γ

^μ₁

D

^μ₂

…D

^μ_n

λ

_a

^ƒƒ'

q

_ƒ'

(0):,

N

_(e)μ1…μn

^F

=

i^n-1

(n-2)!

:

 

∑

^ƒ

q

(0)γ

^μ₁

D

^μ₂

…D

^μ_n

q

_ƒ

(0):,

a

=

1,…,8.

(18.14 б)

В завершение этого параграфа мы выведем вновь явление скейлинга, используя операторное разложение на световом конусе в случае свободных полей (партонную модель), а именно, выражения (18.12) и (18.14). Рассмотрим тензор Τ^μν_em (ср. с (17.18))

Τ

_μν

^em

(p,q)

_Bj

=

 

(2π)³

⎧

⎨

⎩

-g^μν

π²

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

 

∑

^{n четн}

iz_μ1…iz_μn

(z²-i0)²(n-1)

×

Α

_μ1…μn

ⁿ

(p)-

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

 

∑

ⁿ

iz_μ1…iz_μn

z²-i0

×

[

Α

_μνμ1…μ_n

ⁿ

(p)+(μ↔ν)]

⎫

⎬

⎭

,

(18.15 а)

где индекс B_j означает, что данное равенство справедливо в бьеркеновском пределе, а

Α

_μ1…μn

ⁿ

(p)=i

ⁿ

⟨p|

1

(n-2)!

:

q

(0)Q

₂

^e

γ

^μ₁

D

^μ₂

…D

^μ_n

q(0):|p⟩

(18.15 б)

Величины Α можно записать, исходя из инвариантов, характеризующих изучаемый процесс:

Α

_μ1…μn

ⁿ

(p)=-ip

^μ₁

…p

^μ_n

a

_n

+ члены со свертками.

Члены со свертками по двум импульсным индексам (содержащие тензоры g^μ_iμ_j) дают вклады, пропорциональные p², и, следовательно, здесь могут не учитываться. При этом тензор Τ^μν_em принимает вид

Τ

_μν

^em

(p,q)

_Bj

=

 

i(2π)³

⎧

⎨

⎩

g^μν

π²

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

(iz⋅p)

ⁿ

a

_n

1

n-1

+

p^μp^ν

π²

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

(iz⋅p)

ⁿ

a

_n+2

⎫

⎬

⎭

.

Сравнивая это выражение с (17.8 б), получаем

Τ

_em

¹

(x,Q²)

_Bj

=

 

i

q²

ν

⋅

(2π)³

π²

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

(z²-i0)²