D
μ
G
a
αβ
≡
∑
c
⎧
⎨
⎩
∂
μ
δ
ac
+g
∑
ƒ
abc
B
b
μ
⎫
⎬
⎭
G
c
αβ
.
С первыми двумя типами операторов (19.2) мы уже встречались (см. (18.14)). При этом оператор Nе определялся в виде суммы Nе=N++N-. Очевидно, что ненулевые проекции кварковых токов на чисто глюонные операторы можно прочить только в том случае, если учесть взаимодействие между глюонами и кварками. Именно поэтому теперь возник оператор NV в (19.2).
Если мы работаем в калибровке, требующей введения ду́хов, то кроме операторов (19.2) необходимо учитывать также операторы, составленные из полей ду́хов. Но можно доказать, что благодаря треугольному виду матрицы смешивания (см.г например, [97, 183]) при рассмотрении операторов с τ=2 ду́хами можно полностью пренебречь. К этому вопросу мы вернемся несколько ниже. Запишем операторное разложение выражения (19.1) в виде
TJ
μ
p
(z)+J
ν
p
=-
∑
j,n
C
n
1pj
(z²)g
μν
i
n-1
z
μ1
…z
μn
N
μ1…μn
j
(0)
-
∑
j,n
C
n
2pj
(z²)i
n-1
z
μ1
…z
μn
N
μνμ1…μn
j
(0)
+
∑
j,n
C
n
2pj
(z²)ε
μναβ
i
n-2
z
β
z
μ1
…z
μn
N
αμ1…μn
j
(0),
(19.3)
где индекс i относится к тем операторам из (19.2), которые имеют квантовые числа, совпадающие с квантовыми числами исходного произведения J+pJp. Здесь следует отметить, что взаимодействия КХД не нарушают симметрии по ароматам кварков и, следовательно, все вычисления с матрицами λ действующими в пространстве ароматов, можно проводить так же, как в случае свободных полей. Например, для хронологического произведения двух электромагнитных токов выражение (19.3) принимает вид
iTJ
μ
em
(z)J
ν
em
(0) =
=
g
μν
⎧
⎨
⎩
∑
n четн
C
n
1NS
(z²)
⎛
⎜
⎝
1
6
N
μ1…μn
NS,3
(0)+
1
6√3
N
μ1…μn
NS,8
(0)
⎞
⎟
⎠
+
2
9
C
n
1F
(z²)N
μ1…μn
F
(0)
⎫
⎬
⎭
i
n
z
μ1
…z
μn
+
∑
n четн
⎧
⎨
⎩
C
n
2NS
(z²)
⎛
⎜
⎝
1
6
N
μνμ1…μn
NS,3
(0)+
1
6√3
N
μνμ1…μn
NS,8
(0)
⎞
⎟
⎠
+
2
9
C
n
2F
(z²)N
μνμ1…μn
F
(0)
⎫
⎬
⎭
i
n
z
μ1
…z
μn
+
⎧
⎨
⎩
g
μν
∑
n четн
C
n
1V
(z²)
2
9
N
μ1…μn
V
(0)
+
∑
n четн
C
n
2V
(z²)
2
9
N
μνμ1…μn
V
(0)
⎫
⎬
⎭
i
n-1
z
μ1
…z
μn
.
(19.4)
Здесь использованы симметризованные выражения для операторов N. Это допустимо в данном случае, так как необходимы только диагональные матричные элементы, а членами порядка m²N/Q² пренебрегают (ср. с (18.156), (18.15в)). Выражения (19.3) и (19.4) записаны довольно схематично. При учете кварк-глюонных взаимодействий операторы, входящие в (19.3) и (19.4), подвергаются перенормировке. Помимо прочих эффектов это приводит к двум весьма важным следствиям. Во-первых поскольку операторы NF и NV обладают одинаковыми квантовыми числами (они являются синглетами по группе аромата), выражения для перенормированных операторов NF и NV представляют собой комбинации, содержащие неперенормированные операторы обоих типов. Этого не происходит для операторов NNS, которые при проведении процедуры перенормировок оказываются выраженными через себя же. Во-вторых, после перенормировки появляется зависимость коэффициентов C и операторов N от размерного параметра, который мы временно обозначим буквой μ, чтобы не путать его с бьеркеновской переменной ν=p⋅q.
Токи J, имеющие вид
J
μ
(x)=aV
μ
(x)+bA
μ
(x)
(19.5)
не требуют проведения специальной перенормировки, так как операторы V и A являются сохраняющимися или квазисохраняющимися (см. § 13). Но операторы N и вильсоновские коэффициенты разложения C требуют перенормировки, за исключением некоторых особых случаев.
Перенормировка несинглетных операторов, выражающихся при этом через самих себя, сводится к добавлению перенормировочного множителя31):
31 Заметим, что, так же как в § 13, кварковые и глюонные поля, входящие в операторы NNS и N, предполагаются перенормированными.