⃗
μ(n,Q²)
=
C
(n,α)
C
-1
(n,α
0
)
M
(n;α,α
0
)
⃗
μ(n,Q²
0
) ,
(21.11)
где введены обозначения C=1+C(1)α/4π; ,
R
(n,α,α
0
)=1-
α-α0
4π
⋅
β
1
2β
2
0
γ
(0)
(n)+
Δ
(n,αα
0
) ,
Δ
(n,α,α
0
)
=
-3
32
⋅
α0
4π
∫
r
0
d
r' e
-3β0r'/16
[
M
0
(n,r')]
-1
γ
(1)
(n)
M
0
(n,r') ,
M
(n,α,α
0
)
=
⎛
⎜
⎝
α0
α
⎞
⎟
⎠
D(n)
R
(n,α,α
0
) ,
r
=
16
3β0
log
α0
α
,
M
(n,r')
=
e
-3r'γ(0)(n)/32
.
Уравнение для моментов в синглетном случае можно переписать в другом виде, более удобном в некоторых приложениях. Пусть матрица Sn диагонализует матрицу Dn :
S
-1
(n)
D
(n)
S
(n)
=
D̂
(n)
≡
⎛
⎜
⎝
d
+
(n)
0
0
d
-
(n)
⎞
⎟
⎠
, d
+
(n) > d
-
(n) .
Ее можно выбрать так, чтобы det S=S11=1 ; тогда матрица S имеет вид
S
(n)=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
D12(n)
d-(n)-d+(n)
d+(n)-D11(n)
D12(n)
d-(n)-D11(n)
d-(n)-d+(n)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
(21.12)
Определим величину γ как результат преобразования матрицы γ(1) под действием матрицы S :
S
-1
(n)γ
(1)
(n)
S
(n)
=
γ
(n) .
(21.13)
Тогда получим
α
D̂(n)
⎧
⎨
⎩
1+
α
4π
Γ
(n)
⎫
⎬
⎭
S
-1
(n)
C
-1
(n,α)
⃗
μ(n,Q²)
=
α
D̂(n)
0
⎧
⎨
⎩
1+
α0
4π
Γ
(n)
⎫
⎬
⎭
S
-1
(n)
C
-1
(n,α
0
)
⃗
μ(n,Q
2
0
)
≡
⃗
b(n) (не зависит от Q²).
20.14
Здесь использовано обозначение36а)
36а Уравнения несколько изменяются для двух значений n± , для которых выполняся соотношение d-(n±)-d+(n±)+1=0. При этом поправки следующего порядка теории возмущений равны не O(αs), а O(αs log αs).
Γ
(n)
=
-1
2β0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
γ
11
(n)+2β
1
d
+
(n)
γ12(n)
d+(n)-d-(n)+1
γ21(n)
d-(n)-d+(n)+1
γ
22
(n)+2β
1
d
-
(n)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Выражвння (21.10) и (21.11) применимы для моментов структурных функций ƒ2 и ƒ3 . Используя соотношения (21.8), продольную структурную функцию ƒL можно выразить через функцию ƒ2 :
ƒ
L
=
ƒ
NS
L
+
ƒ
F
L
+
ƒ
V
L
,
(21.15 а)
ƒ
NS
L
(x,Q²)
=
4αs
3π
∫
1
x
dy
x²
y³
ƒ
NS
2
(y,Q²) ,
(21.15 б)
ƒ
F
L
(x,Q²)
=
4αs
3π
∫
1
x
dy
x²
y³
ƒ
F
2
(y,Q²) ,
(21.15 в)
ƒ
V
L
(x,Q²)
=
4αs
3π
δ
L
∫
1
x
dy
x²
y³
⎛
⎜
⎝
1-
x
y
⎞
⎟
⎠
ƒ
V
2
(y,Q²) ,
(21.15 г)
где для процесса электророждения на протонной мишени
δ
L
=
3nƒ
2