Нетрудно проверить, что виковское произведение локальных операторов, взятых в одной и той же точке, тоже локально3), т. е. если операторы O1,…,On локальны, то и виковское произведение этих операторов :O1(x)…On(x): локально.
3 Оператор Oα(x) называется локальным, если при преобразованиях Пуанкаре он преобразуется по формуле U(a,Λ)Oα(x)U-1(a,Λ) = ∑ Pαα⋅(Λ)Oα'(Λx+a) и коммутирует сам с собой в разных пространственных точках.
Еще одним важным свойством виковского произведения является его регулярность. Иными словами, для любых состояний a и b матричные элементы от виковского произведения ⟨а∣ :O1(x1)…On(xn): ∣b⟩ являются регулярными функциями переменных (x1),…,(xn).
Хронологическое произведение, или Т-произведение, локальных (элементарных или составных) операторов O1(x1)…On(xn) определяется следующим образом:
TO1(x1)…On(xn) ≡ T{ O1(x1)…On(xn) } = (-1)δOi1(xi1) … Oin(xin)
В правой части этого выражения операторы расположены в такой последовательности, что их временные аргументы удовлетворяют условию x0i1 ≥ x0i2 ≥ … ≥ x0in , а параметр δ равен числу перестановок индексов, соответствующих фермионным операторам, которые необходимо выполнить,чтобы из исходной последовательности 1,…,n составить последовательность i1,…,in. Иначе говоря, хронологическое произведение TO1(x1)…On(xn) можно получить, переставляя операторы так, чтобы их временные аргументы образовывали невозрастающую последовательность, учитывая при этом коммутационные (антикоммутационные) соотношения для бозонных (фермионных) операторов. Например, для двух сомножителей q1(x) и q2(y) получаем
Tq1(x)q2(y) = θ(x0 - y0)q1(x)q2(y) - θ(y0 - x0)q2(y)q1(x)
или
Tq1(x)B2(y) = θ(x0 - y0)q1(x)B2(y) + θ(y0 - x0)B2(y)q1(x)
Следует помнить, что бозонные и фермионные операторы всегда коммутируют и хронологическое произведение операторов релятивистски инвариантно.
S-матрица представляет собой оператор, переводящий векторы, отвечающие свободным состояниям системы в момент времени t=-∞ в векторы, отвечающие свободным состояниям этой системы в момент времени t=+∞. S-матрица может быть получена из лагранжиана взаимодействия при помощи формулы Мэттьюза
S
=
T exp i
∫
d
4
xℒ
0
int
(x).
(2.1а)
Здесь ℒ0int(х) — лагранжиан взаимодействия, выраженный через нормально упорядоченные произведения полей, удовлетворяющих тем же коммутационным соотношениям, что и свободные поля. Хронологическая экспонента представляет собой формальное выражение, фактически определяемое разложением в ряд:
S
=
T exp i
∫
d
4
xℒ
0
int
(x)
≡
1 + i
∫
d
4
xℒ
0
int
(x) + …
+
i
n
∫
d
4
x
1
… d
4
x
n
Tℒ
0
(x
1
) … ℒ
0
(x
n
) … .
n!
int
int
(2.1б)
Часто вместо матричных элементов S-матрицы будут рассматриваться матричные элементы токов (или произведений токов), а также матричные элементы составных операторов более общего вида. Их можно получить, введя в лагранжиан взаимодействия ℒ0int вспомогательные члены. Предположим, например, что рассматривается матричный элемент вида
⟨a
|
TJ
μ
(x)J
ν
(y)
|
b⟩
1
2
(2.2)
где J — слабые или электромагнитные токи (см. формулу (1.6)). Для этого заменим лагранжиан ℒint слeдyющим выражением:
ℒ
φ
=
ℒ
+ J
(x)Φ
μ
(x) + J
(x)Φ
μ
(x) ,
int
int
1μ
1
2μ
2
(2.3)
в котором поля φ являются c-числовыми вспомогательными полями. Разлагая в ряд, получаем
⟨
a
|
T exp i
∫
d
4
x ℒ
φ
int
(x)
|
b
⟩
= ⟨
a
|
b
⟩ +
i
⟨
a
|
∫
d
4
x
{
ℒ
0
(x) +
∑
J
0
(x)Φ
μ
(x)
}
|
b
⟩
int
iμ
i
i
+ … +
i
n
n!
⟨
a
|
∫
d
4
x
1
…d
4
x
n
T
×
{
ℒ
0
int
(x
1
) +
∑
J
0
iμ
(x
1
)Φ
μ
i
(x
1
)
}
× …
i
×
{
ℒ
0
int
(x
n
) +
∑
J
0
iμ
(x
n
)Φ
μ
i
(x
n
)
}
|
b
⟩ + … .
i
Предположим, что поля φ бесконечно малы, и сохраним в разложении только члены порядка O(φ) и O(φ2). Последние имеют вид