ƒ
NS
(x,Q²)
≈
x→1
A
0NS
[α
s
(Q
2
)]
-d0
ea(αs)αs(Q²)
Γ[1+ν1NS(αs)]
×
(1-x)
ν1NS(αs)+2αs[log(1-x)]/3π
(23.13)
Здесь коэффициенты νNS и a имеют вид
ν
1NS
(α
s
)
=
ν
NS
(α
s
)-ψ(ν
NS
(α
s
)+1)
4αs(Q²)
3π
-a
1
α
s
(Q²),
a(α
s
)
=
a
0
+a
1
ψ(ν
NS
(α
s
+1)
+
2
3π
{[ψ(ν
NS
(α
s
)+1)]²-ψ'(ν
NS
(α
s
)+1)},
a
0
≈1.18, a
1
≈0.66 .
Интересно отметить, что благодаря члену
(1-x)
2αs[log(1-x)]/3π
(23.14)
поправки можно сделать сколь угодно большими, взяв значение переменной x достаточно близким к единице. Конечно, это означает лишь, что при x→1 как и ожидалось, теория возмущений становится неприменимой. При x=1 возникает необходимость учета связанных состояний (упругий вклад в процесс γ*+N→all, обусловленный реакцией γ*+N→N). В действительности существуют и другие причины, по которым рассмотрение на основе теории возмущений становится неприменимым, когда переменная x близка к единице. Из выражения (23.14) видно, что формула (23.13) применима только при промежуточных значениях переменной x :
1-x ≪ 1, но
2αs
3π
|log(1-x)| ≪ 1.
(23.15)
Асимптотическое поведение структурных функций в пределе x→1 (или n→∞) вычислено во всех порядках по доминирующим членам вида (αslog n)n [15, 71]. С точностью до замены A0NS→A0S, ν1NS→1S синглетная функция распределения кварков имеет вид, аналогичный (23.13).
Обратимся к рассмотрению поведения структурных функций при x≈0. При изучении поведения структурных функций в пределе x→0 квадрату 4-импульса Q² необходимо приписывать большое фиксированное значение, при котором оправданно применение теории возмущений, и положить ν→∞. В этих условиях имеет место предел Редже39) и так как структурные функции можно интерпретировать как сечения рассеяния виртуального гамма-кванта γ (или векторных бозонов W, Z) с квадратом инвариантной массы, равным -Q², то можно предположить [2] следующее асимптотическое поведение:
39) Сведения о теории Редже можно нвйти, например, в монографии [28].
ƒ(x,Q²)
≈
x→0
b(Q²)ν
αR(0)
, x=
Q²
2ν
,
(23.16)
где R- соответствующая траектория Редже. В отличие от асимптотик структурных функций в пределе x→1 доказать асимптотические формулы (23.16) в рамках квантовой хромодинамики на современном этапе развития теории не удается.
Перепишем (23.16) в более удобном виде
ƒ
NS
(x,Q²)
≈
x→0
B
NS
(Q²)x
λ
,
(23.17 а)
ƒ
i
(x,Q²)
≈
x→0
B
i
(Q²)x
λ
, i=F,V .
(23.17 б)
В принципе можно допустить зависимость параметров λ от Q², но КХД и теория Редже показывают, что они имеют постоянные значения с точностью до членов O(M²/Q²).
Поведение структурных функций ƒ в пределе x→0 связано с сингулярностями моментов μ(n,Q²)39а). Установление этой связи требует аналитического продолжения формул для μ(n,Q²) по переменной n. Поскольку моменты выражаются в виде μ(n,Q²)=AnCn соответствующие сингулярности обусловливаются особенностями величин An или Cn в зависимости от того, какая из них расположена правее на комплексной плоскости. Можно показать, что асимптотические формулы (23.16) и (23.17) возможны только в том случае, когда крайняя правая сингулярная точка величины An расположена правее соответствующей точки коэффициентной функции Cn. Кроме того, если n0 — такая крайняя правая сингулярная точка A , то она удовлетворяет равенствам
39а) Детали приводимого доказательства можно найти для иесингпетного случая в работе [ 199] и для обоих случаев в первом и втором порядках теории возмущений в работе [194]. В этих работах обсуждаются также другие асимптотики структурных функций в пределе x→0, отличные от реджевских.
n
0
=1-λ
(NS)
n
0
1+λ
s
(singlet),
и с необходимостью выполняется соотношение λF=λV≡λs.
Так как сингулярности коэффициентных функций Cn совпадают с сингулярностями функций d(n) или D(n), параметры λ и λs удовлетворяют неравенствам
λ < 1, λ
s
> 0.
В случае рассеяния частиц, лежащих вне массовой поверхности, второе неравенство обеспечивает существование особенности выше померонного полюса. В пользу этого свидетельствуют результаты расчетов, выполненных Грибовым и Редже (см., например, обзор [ 30] и цитируемую там литературу)
Рассмотрим, теперь синглетный случай. Из выражения (20.7) следует, что величина
[α
s
(Q²)]
D(n)
⃗
μ(n,Q²)
не зависит от значения Q². Пусть матрица S(n) диагонализует матрицу D(n). Запишем матрицу S(n) в виде, аналогичном (21.12), и примем, что она удовлетворяет соотношению
S
-1
(n)
D
(n)
S
(n)
=
D
̂
(n)=
⎛
⎜
⎝
d
+
(n)
0
0
d
-
(n)
⎞
⎟
⎠
.
(23.18)
Используя асимптотические формулы (23.17) и полагая n=1+λs+ε, находим