i
n
⟨
a
|
∫
d
4
x
1
…d
4
x
n
∑
Tℒ
0
(x)
1
…
[
ℒ
0
(x)
i
]
…
n!
int
int
ij
×
[
ℒ
0
(x)
j
]
… ℒ
0
(x)
n
J
0
(x)
i
J
0
(x)
j
J
|
b
⟩
Φ
μ
(x)
i
Φ
ν
(x)
j
;
int
int
1μ
1ν
1
2
здесь символ [ℒ] означает, что член, заключенный в скобки, опущен. Записывая поля φ в виде φiμ = εiμδ(x-yi), дифференцируя по переменным ε1 и ε2 и полагая ε1 = ε1 = 0, получаем уравнение Гелл-Манна - Лоу
⟨a|TJ
μ
1
(x)J
ν
2
(y)|b⟩
=
δ
2
δΦ
1μ
(x)δΦ
2ν
(y)
×
⟨a|T exp i
∫
𝑑
4
z
{
ℒ
0
int
(z) +
∑
i
J
0
iλ
(z)Φ
λ
i
(z)
}
|b⟩
=
∞
∑
n=0
in
n!
⟨a|
∫
d
4
x
1
…d
4
x
n
Tℒ
0
int
(x
1
)…
×ℒ
0
int
(x
n
)J
0μ
1
(x)J
0ν
2
(y)|b⟩ .
(2.4)
Для того чтобы приравнять правую часть (2.4) матричному элементу (2.2), использована формула (доказанная Боголюбовым и Ширковым [45], см. также § 39 и 42; определение функциональной производной дано в приложении 3)
δ2Sφ
δΦ1μ(x) δΦ2ν(y)
Φ = 0
=
TJ
μ
1
(x)J
ν
2
(x) .
(2.5)
Рассмотрим вопрос о релятивистской инвариантности и унитарности S-матрицы. Если оператор U(a,Λ) осуществляет некоторое преобразование из группы Пуанкаре, то должно выполняться соотношение
U(a,Λ)SU
-1
(a,Λ) = S ,
(2.6)
из которого следует, что S-матрица представляет собой релятивистски инвариантный оператор. S-матрица является также унитарным оператором:
S
+
S
=
SS
+
= 1 .
(2.7)
Записав выражение для S-матрицы в виде
S = iΤ ,
где матричные элементы ⟨a|Τ|b⟩ представляют собой так называемую амплитуду перехода системы из состояния |a в состояние |b, получим из (2.7) соотношение для оператора Τ
Im
⟨
a
|
Τ
|
b
⟩ = ½
∑
⟨
c
|
Τ
|
b
⟩⟨
c
|
Τ
|
b
⟩
*
.
all c
(2.8)
(При выводе соотношения (2.8) предполагалась инвариантность S-матрицы по отношению к обращению времени.) При разложении левой и правой частей (2.6) и (2.8) по степеням константы связи g в каждом порядке теории возмущений возникают определенные соотношения. В силу линейности уравнение (2.6) сохраняет свой вид в каждом порядке разложения по константе связи g. Нелинейность же уравнения (2.8) приводит к смешиванию членов разного порядка малости по константе связи. Например, если написать
Τ
=
g
∞
∑
n = 0
g
n
Τ
n
то, ограничиваясь членами второго порядка малости по g, имеем
Im
⟨
a
|
Τ
2
|
b
⟩ = ½
∑
all c
{
⟨
c
|
Τ
0
|
b
⟩⟨
c
|
Τ
2
|
a
⟩
*
+ ⟨
c
|
Τ
2
|
b
⟩⟨
c
|
Τ
0
|
a
⟩
*
+ ⟨
c
|
Τ
1
|
b
⟩⟨
c
|
Τ
1
|
a
⟩
*
}
.
(2.9)
Завершим краткий обзор основных вопросов теории поля введением редукционных соотношений. Рассмотрим амплитуду рассеяния, например для процесса a + b → a' + b', где a и a' - бозоны, описываемые полями Φa и Φa'. Амплитуду рассеяния можно записать в виде
⟨
a',b'
|
S
|
a,b
⟩ =
lim
⟨
a',b',t'
|
a,b,t
⟩ .
t'→+∞
t→-∞
Если через pi обозначить импульс частицы i и использовать формулу (подробный вывод редукционных соотношений содержится, например, в книге Бьёркена и Дрелла [ 40])
i
2(2π)
3/2
∫
a
+
(p
a
)
=
lim
d
⃗
x
e
-ipa⋅x
⃡