(y)γ
σ
t
b
d
0
(x)
+(x↔y)}
×
B
a
0ρ
B
b
0σ
(y)|π(p
1
)⟩.
(27.9)
Рис. 24. Диаграммы, описывающие эксклюзивные процессы (а — г — пионный формфактор).
Различные комбинации порождают диаграммы рис. 24, а и б. Члены, соответствующие диаграммам рис. 24, а, опущены, так как они не дают вклада в конечный результат. Используя для обозначения цветовых индексов символы i, j, k, а в качестве дираковских индексов символы α, β и δ и опуская индекс 0, обозначающий свободные поля, вклад диаграммы рис. 24, б можно записать в виде
V
μ
(p
1
,p
2
)
=
-(2π)³g
2
∑∫
𝑑
4
x 𝑑
4
y
×
⟨π(p
2
)|
u
i
α
(0)
d
k'
δ'
(y)γ
μ
αα'
S
α'β
(-x)t
a
ii'
t
b
kk'
×
γ
ρ
ββ'
γ
σ
δδ'
D
ρσ
(x-y)δ
ab
u
i'
β'
(x)
d
k
δ
(y)|π(p
1
)⟩
+
"кросс"-член,
где "кросс" обозначает свертку с другой комбинацией индексов. Можно произвести пространственно-временной сдвиг на величину y. Тогда получаем z=x-y
V
μ
(p
1
,p
2
)
=
(2π)³g²
∑∫
𝑑4z
(2π)4
∫
𝑑4y
(2π)4
∫
𝑑
4
k
∫
𝑑
4
p
×
e
iz⋅(p-k)
e
iy⋅(p+p2-p1)
×
⟨π(p
2
)|
u
i
α
(-y)d
k'
δ
(0)
∑
F
|F⟩
⟨F|u
i
β'
(z)
d
k
δ
(0)|π(p
2
)⟩γ
μ
αα'
×
-
p²k²
γ
ρ
ββ'
γ
σ
δδ'
g
ρσ
t
c
ii'
t
c
kk'
+(p
1
↔p
2
),
где (p1↔p2) возникает из "кросс"-члена. Вклад калибровочных членов явно не выписан, так как в ведущем порядке теории возмущений он обращается в нуль. При получении последнего выражения введен полный набор состояний; в ведущем порядке вносят вклад только вакуумные состояния:
∑
F
|F⟩⟨F|≃|0⟩⟨|+O(α
s
).
Глюонный пропагатор Dρσ использован в калибровке Ферми — Фейнмана, но результат (после добавления члена p1↔p2), конечно, является калибровочно-инвариантным. Далее в случае трех цветов (число цветов nc=3)
u
i
β'
(z)
d
k
δ
(0)
=
δik
4nc
(γ
λ
γ
5
)
β'δ
d
(0)γ
λ
γ
5
u
z
-
δik
4nc
(γ
5
)
β'δ
d
(0)γ
5
u(z)+…;
(27.10)
другие члены не дают вклада, так как пион представляет собой синглетное по цвету псевдоскалярное состояние. В самом деле, оператор dγ5u является оператором твиста 3 и, следовательно, в ведущем порядке теории возмущений может быть опущен. Таким образом, получаем
V
μ
(p
1
,p
1
)
=
(2π)³
CFg²
48
∫
𝑑4z
(2π)4
∫
𝑑4y
(2π)4
∫
𝑑
4
k
∫
𝑑
4
e
×
e
iz⋅(p-k)
e
-iy⋅(p+p2-p1)
×
Tr γμ
p2k2
⟨0|
d
(0)γ
λ
γ
5
u(z)|π(p
1
)⟩
×
⟨π(p
2
)|
u
(y)γ
τ
γ
5
d(0)|0⟩+(p
1
↔p
2
).
(27.11)
Сосредоточим внимание на вычислении членов ⟨0|…|π⟩. Их можно разложить в ряд по степеням переменных z и y: например,
⟨0|
d
(0)γ
λ
γ
5
u(z)|π(p
1
)⟩
=
∑
n
zμ1…zμn
n!
𝚂⟨0|
d
(0)γ
λ
γ
5
D
μ1
…D
μn
u(0)|π(p
1
)⟩;
(27.12 а)
если пренебречь членами, пропорциональными массе пиона, то получаем
(2π)
2/3
⟨0
d
(0)γ
λ
γ
5
D
μ1
…D
μn
u(0)|π(p
1