)⟩
≡
i
n+1
p
1λ
p
1μ1
…p
1μn
Α
n
.
(27.12 б)
Все выкладки были выполнены формально. После перенормировки надо заменить константу связи g на бегущую константу g(ν²) и учесть, что множитель Αn приобретает зависимость от ν : Αn=Αn(ν²). Чтобы избежать появления логарифмических членов log(Q²/ν²), выберем параметр ν²=Q²=-(p2-p2)². Если теперь "партонную волновую функцию" Ψ определить в виде
∫
1
0
𝑑ξξ
n
Ψ=Α
n
,
(27.12 в)
то выражение (27.11) можно представить в физически очень наглядном виде
(2π)
2/3
⟨0|
d
(0)γ
λ
γ
5
u(z)|π(p
1
)⟩
=
ip
1λ
∫
1
0
𝑑ξ Ψ(ξ,ν²)e
iξp1⋅z
(27.13)
и, проведя в (27.11) интегрирование по переменным z,y;k,p , получить следующий результат:
V
μ
(p
1
,p
2
)
=
CFg²(ν)
48
∫
1
0
𝑑ξΨ(ξ,ν²)
∫
1
0
𝑑ηΨ
*
(η,ν²)
×
Tr γμ
p2k2
+
(p
1
↔p
2
) ,
(27.14 а)
где
p=p
1
-(1-η)p
2
,
k=(1-η)p
2
-(1-ξ)p
2
.
(27.14 б)
Таким образом, нам удалось разбить вершину на "мягкую часть", описываемую волновыми функциями Ψ и Ψ*, и на "жесткую часть" Εμ (рис. 24, в и г). Переменные ξ и η описывают долю импульса, приходящуюся на каждый кварк. Вычислив след в формуле (27.14), приходим к окончательному результату
F
π
(q²)
=
4πCFαs(Q²)
6Q²
⎪
⎪
⎪
∫
1
0
𝑑ξ
Ψ(ξ,Q²)
1-ξ
⎪²
⎪
⎪
+O
⎧
⎪
⎪
⎩
M
2
π
Q
2
⎫
⎪
⎪
⎭
+O(α
2
s
),
Q²
≡
-q²
(27.15)
Последняя задача состоит в вычислении зависимости волновой функции Ψ от Q². Операторы, которые определяют функцию Ψ с помощью уравнений (27.12), аналогичны операторам, определяющим несинглетную часть структурных функций в процессах глубоконеупругого рассеяния (§ 19, 20). Но есть и некоторые дополнительные трудности: ввиду недиагонального характера матричных элементов суммарные расходимости приводят к ненулевому вкладу. Операторы Nλμ1…μnA,n,k, k=0,…,n ,
N
λμ1…μn
A,n,k
=
∂
μn
d
(0)γ
λ
γ
5
D
μ1
…D
μk
u(0)
(27.16)
при проведении перенормировок преобразуются друг через друга по формуле
N
A,n,k
→
∑
k'
Z
n+1,k'
N
A,n,k
.
(27.17 а)
При k=n элементы матрицы Zn+1,n совпадают с элементами, вычисленными в § 20:
Z
n+1,n
=1+
g²Nε
16π²
C
F
⎧
⎨
⎩
4S
μ
(n+1)-3-
2
(n+1)(n+2)
⎫
⎬
⎭
;
(27.17 б)
при k≤n-1 они имеют значения
Z
n+1,n
=
g²Nε
16π²
C
F
⎧
⎨
⎩
2
n+2
-
2
n-k
⎫
⎬
⎭
.
(27.17 в)
Чтобы получить операторы, обладающие определенным поведением в пределе Q²→∞ 41а), нужно диагонализовать матрицу Z. Пусть этого можно достигнуть при помощи матрицы S ; тогда, обозначив через Âk диагональные матрицы, получаем соотношение
41а) Красивый альтернативный метод, основанной на свойствах конформной инвариантности, приведен в работе [117].
A
n
(Q²)
=
n
∑
k=0
S
nk
Â
k
(Q²).
(27.18)
Аномальные размерности матриц Âk представляют собой собственные значения матрицы Z. Но из треугольного характера матрицы Z следует, что ее собственные значения являются просто ее диагональными элементами. Следовательно, в пределе Q²→∞ имеем
Â
k
(Q²)
≈
Q²→∞
[α
s
(Q²)]
dNS(k+1)
Â
k0
В ведущем порядке теории возмущений, учитывая неравенство dNS(k+1) > dNS(1)=0, нужно сохранить только один член в (27.18), так что получаем результат
A
n
(Q²)
→
Q²→∞
S
n0
Â
00
откуда следует предельное соотношение
∫
1
0
𝑑ξ
Ψ(ξ,Q²)
1-ξ
→
Q²→∞
Â
00
∑
n=0
S
n0
.
Легко убедиться, что элементы Sn0 матрицы S имеет вид
S
n0
=
1
n+2
-
1
n+3
.
Кроме того, известен также элемент Â00 . Из уравнений, основанных на гипотезе о частичном сохранении аксиального тока (см. § 31, в частности (31.26)), следует равенство