(2π)
3/2
⟨0|
d
(0)γ
λ
γ
5
u(0)|π(p)⟩
=ip
λ
√
2
ƒ
π
, ƒ
π≈93 МэВ
поэтому величина
A
0
=
∫
1
0
𝑑ξΨ(ξ,Q²)=√
2
ƒ
π
не зависит от Q2 . Отсюда получаем Â00=6√2ƒπ .
Окончательный результат имеет вид41б)
41б) В своем изложении мы следуем работам [53, 105, 116]. Тот же результат можно получить, используя так называемую теорию возмущений на световом конусе [54].
F
π
(t)
≈
Q²→∞
12πC
F
ƒ
2
π
α
s
(-t)
-t
.
(27.19)
Поправки к этой формула имеют величину O(αdNS(3)s=α0,6s); в действительности для четных значений n в силу зарядового сопряжения результат оказывается равным нулю.
Пример вычисления пионного формфактора полезен в нескольких отношениях. Из сравнения выражения (27.19) с экспериментальными результатами видно, что теоретическое значение слишком мало. Это, конечно, можно отнести на счет следующих за ведущими пертурбативных поправок. Однако, по-видимому, происходит нечто иное, а именно поправки, связанные с операторами высших твистов, вследствие малости масс кварков u и d становятся чрезвычайно существенными. Действительно, рассмотрим вклад псевдоскалярного члена в выражение (27.10). Смешанный член дает вклады, подавленные по сравнению с выражением (27.19) множителем m²π/t , и им можно пренебречь; но псевдоскалярно-псевдоскалярный вклад содержит квадрат матричного элемента ⟨0|dγ5u|π⟩, который, как легко убедиться, используя уравнение движения, пропорционален величине ƒπm²π(mu+md). Повторяя проведенный выше анализ; получаем результат
F
π
(t)
=
12πC
F
ƒ
2
π
α
s
(-t)
-t
⎧
⎨
⎩
1+
4m
4
π
log(-t/m
2
π
)
-(mu+md)²t
⎫
⎬
⎭
.
(27.20)
Хотя выражение (27.20) при разумном выборе кварковых масс можно привести в согласие с экспериментальными данными, но этот результат трудно принимать всерьез, так как вклады от операторов высших твистов в инфракрасном пределе оказываются расходящимися (фактически мы здесь имеем массовую сингулярность); простая факторизация, использованная при выводе (27.20), здесь не применима. Таким образом, коэффициент перед поправкой пока неизвестен.
"Жесткая" часть пионного формфактора, очевидно, расходится в инфракрасном пределе (член 1/(1-ξ) в выражении (27.15). Но, к счастью, в ведущем порядке теории возмущений выполняется соотношение
∫
1
0
𝑑ξΨ(ξ,Q²)ξ
n
→
Q²→∞
S
n0
Â
00
,
откуда следует предельное соотношение
Ψ(ξQ²)
→
Q²→∞
ξ(1-ξ)Â
00
и возможные расходимости сокращаются. Поэтому некоторые эксклюзивные процессы в конечном счете все же поддаются расчетам в рамках простой теории возмущений. Однако, как видно из члена, описывающего в (27.20) вклад операторов твистов, следующих за ведущим, это не всегда справедливо. В действительности для некоторых процессов инфракрасные расходимости появляются уже на уровне операторов ведущего твиста. Например, можно рассмотреть скалярный формфактор
D(t)=(2π)
-3
⟨π|σ
us
(0)|K
0
, σ
us
=
i∂
μu(x)
γ
μ
s(x),
(27.21 а)
Вычисления этой величины аналогичны вычислениям пионного формфактора. Единственное отличие связано с присутствием смешанного псевдоскалярно-аксиальновекторного вклада (номинально высшего твиста), который в действительности является ведущим. Используя соотношения, основанные на частичном сохранении аксиального тока (§ 31), находим
D(t)
≈
12πCFαs(-t)ƒπƒK
-t
{(
m
2
s
-
m
2
u
)+(m
2
K
-m
2
π
)}log
t
M²
.
(27.21 б)
Здесь первый член имеет аксиально-аксиальный характер, второй описывает вклад смешанных операторов; но оба они в инфракрасном пределе оказываются расходящимися (если использовать простую факторизацию). Эти два примера (вклад операторов следующего за ведущим твиста в пионный формфактор и скалярный формфактор (27.21)) показывают, что в отличие от инклюзивных процессов эксклюзивные процессы чрезвычайно чувствительны к инфракрасным расходимостям, и для каждого конкретного процесса следует проверять, применима ли непосредственно теория возмущений КХД или нет. Учитывая эти замечания, завершим настоящий параграф очень короткой сводкой результатов для некоторых эксклюзивных процессов.
Из примера рассмотрения пионного формфактора можно вывести общее правило: амплитуда эксклюзивного процесса имеет вид (рис. 24, д)
𝓐
∫
φ
+
Kφ ,
где φ — волновая функция связанного состояния B:
φ≈⟨0|Tq
1
(x
1
)…q
n
(x
n
)|B⟩ ,
ядро уравнения K определяется формулой
K
≈
⎡
⎢
⎣
αsQ²
Q²
⎤n-1
⎥
⎦
.
Отсюда возникают правила счета [52], согласно которым, например, для нуклонного формфактора получаем знаменитое дипольное поведение
F
N
≈
⎡
⎢