42а) Возможны и другие интерполяционные формулы или процедуры (см. [76] и особенно работу [258], где можно найти подробное обсуждение этого вопроса, включая вычисление зависимости от эффективного значения nƒ). Какой из интерполяционных формул пользоваться, в значительной мере безразлично, так как в КХД зависимость всех величин от nƒ в области nƒ=3-6 очень слабая.
n
ƒ
(Q²)=
nƒ
∑
ƒ=1
⎧
⎪
⎩
1-
4m̂
2
ƒ
Q²
⎫½
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
1+
2m̂
2
ƒ
Q²
⎫
⎪
⎭
θ(Q²-4m̂
2
ƒ
).
(28.7)
Необходимо доказать, что такая процедура последовательна. Что формула (28.7) справедлива для значений Q бо́льших, чем все массы кварков, мы уже знаем; поправки имеют величину O(m̂²q/Q²). Завершим доказательство, показав, что эта формула справедлива и для случая Q²≪m². Рассмотрим с этой целью выражение для глюонного пропагатора. Отсюда будет ясно, как распространить доказательство на общий случай.
Поскольку вклады кварков и глюонов в выражение для глюонного пропагатора Dtr аддитивны, достаточно рассмотреть только первый из них. В ведущем порядке теории возмущений имеем
D
(кварки)
tr
=1-
αg
π
∫
1
0
𝑑x x(1-x)log
x(1-x)Q²+m̂²
ν²
(28.8)
В этом порядке необходимости учета перенормировки величин ag или m не возникает. Для случая Q²≪m̂² получаем
D
(кварки)
tr
=1-
αg
6π
log
m̂²
μ²
-
αg
30π
⋅
Q²
m̂²
,
(28.9)
т.е. результат, постоянный с точностью до членов O(Q²/m̂²). Следовательно, с точностью до этих членов он совпадает с глюонным пропагатором, вычисленным для нулевого числа ароматов, но имеет другое значение параметра ν'², а именно ν'²=ν²{1+log m̂²/nu²}. Так как физические наблюдаемые не зависят от значения ν, тяжелыми кварками, приводящими только к членам O(Q²/m̂²), можно пренебречь .
Случай глюонного пропагатора особенно прост; в общем случае поправки имеют величину порядка log(m̂²/Q²)(Q²/m̂²).
Теорема "развязки" особенно наглядна в μ-схеме перенормировок. Рассмотрим снова вклад кварков в выражение для глюонного пропагатора. Проводим вычисления во втором порядке теории возмущений и, вспоминая выражение (9.21), получаем
D
(кварки)
u tr
(q²)
=
i+T
F
g²
16π²
⎧
⎨
⎩
2
3
N
ε
n
ƒ
-4
∫
1
0
𝑑x x(1-x)
×
nƒ
∑
ƒ=1
log
m
2
ƒ
-x(1-x)q²
μ
2
0
⎫
⎬
⎭
+ … .
Напомним, что μ-схема перенормировок возникает, если потребовать выполнения условия D(кварки)R tr(q²=-μ²)=Dсвоб. tr(-μ²), а следовательно справедливо равенство
D
(кварки)
R tr
i+T
F
g²
16π²
⎧
⎨
⎩
-4
∫
1
0
𝑑x x(1-x)
∑
ƒ
m
2
ƒ
-x(1-x)q²
m
2
ƒ +x(1-x)μ²
⎫
⎬
⎭
Положим Q²=-q². В случае, когда Q², μ≫m²ƒ, справедливо приближенное равенство
∫
1
0
𝑑x x(1-x) log
m
2
ƒ
-x(1-x)Q²
m
2
ƒ +x(1-x)μ²
≃
1
6
log
Q²
μ²
+O
⎧
⎪
⎩
m
2
ƒ
μ²
,
m
2
ƒ
Q²
⎫
⎪
⎭
;
для случая m²ƒ≫μ²,Q² имеем
∫
1
0
𝑑x x(1-x)
log
m
2
ƒ
-x(1-x)Q²
m
2
ƒ +x(1-x)μ²
≃
O
⎧
⎪
⎩
μ²
m
2
ƒ
,
Q²
m
2
ƒ
⎫
⎪
⎭
;
§ 29. Массовые члены и свойства инвариантности; киральная инвариантность
В § 28 мы видели, что при энергиях Q≫Λ,, когда теория возмущений по бегущей константе связи может иметь смысл, можно пренебречь существованием кварков с массами m≫Q. В этом параграфемы рассмотрим противоположный случай, когда массы кварков удовлетворяют условию m≪Λ. Поскольку единственным размерным параметром в квантовой хромодинамике, как мы полагаем, является параметр обрезания Λ42б), можно ожидать, что в некотором приближении допустимо пренебречь массами этих легких кварков, которые могут привести к поправкам лишь порядка m²/Λ² или m²/Q².
42б) Неясно, конечно, какой из параметров: Λ или параметр Λ0 , определяемый формулой αs(Λ²0)≈1, является основным. Смысл неравенства m≪Λ также неоднозначен. Очевидно, что Λ≈Λ0 , поэтому в действительности, помимо эвристических соображений, нет никаких указаний, которые помогли бы решить, какие кварки считать легкими в промежуточных случаях. Почти нет сомнений в том, что кварки u и d следует отнести к типу "легких"; в отношении кварка s ситуация менее ясна.
Вернемся к вопросам, обсуждавшимся в § 10. Рассмотрим лагранжиан КХД
ℒ
=
-
n
∑
l=1
m
l
q
l