44а) При рассмотрении частиц, имеющих равное нулю квантовое число аромата, возникнет своя проблема (так называемая (U(1)-проблема). мы обсудим ее несколько ниже.
46) Правые части соотношений (30.7) должны быть умножены на константу размерности массы. — Прим. перев.
m
2
π
≈
m
u
+m
d
, m
2
K
≈
m
s
+m
u,d
.
(30.7)
Мы не будем доказывать здесь этих теорем, а отметим, что соотношения (30.7) дают более количественный критерий выполнения киралыюй симметрии и симметрии по ароматам; они справедливы с точностью до поправок порядка m²π/m²ρ для группы SUF(2) и с точностью до поправок порядка m²K/m²K* в случае группы SUF(3).
Отметим также, что симметрия Намбу - Голдстоуна [203, 205, 206] не может быть реализована в рамках теории возмущений, так как во всех порядках теории возмущений Qa5(t)|0⟩=0. Это означает, что физический вакуум отличается от вакуума теории возмущений в пределе m→0. Там, где есть опасность ошибиться, мы будем подчеркивать этот факт, используя для вакуума теории возмущений обозначение |0⟩ , а для физического вакуума обозначение |vac⟩. Поэтому соотношения (30.6) мы запишем в виде
Q
a
(t)|vac⟩=0 , Q
a
5
(t)|vac⟩≠0 .
(30.8)
Нетрудно видеть, как это происходит. Пусть a+mG(⃗p) - оператор рождения частицы, масса которой может быть равной нулю. Состояния
a
+
mG
(⃗0)
(n)
…a
+
mG
(⃗0)|(0)⟩=|n⟩
вырождены в пределе mG→0. Таким образом, в этом пределе физический вакуум имеет вид
|vac⟩=
∑
C
n
|n⟩.
Ожидается, что подобное явление происходит в квантовой хромодинамике, в частности в пределе mq→0.
§ 31. Частичное сохранение аксиального тока и отношения масс кварков
Теперь мы можем получить количественные результаты для масс легких кварков. С этой целью рассмотрим ток
A
μ
ud
(x)=
u
(x)γ
μ
γ
5
d(x) ,
и его дивергенцию
∂
μ
A
μ
ud
(x)=i(m
u
+m
d
)
u
(x)γ
5
d(x) .
Последняя величина имеет квантовые числа π+-мезона, и ее можно использовать как (составное) пионное поле. Поэтому напишем
∂
μ
A
μ
ud
(x)=√
2
ƒ
π
m
2
π
φ
π
(x) .
(31.1)
Коэффициенты в формуле (31.1) выбраны такими по историческим причинам. Пионное поле φπ(x) нормировано следующим образом:
⟨0|φ
π
(x)|π(p)⟩
=
1
(2π)3/2
(31.2а)
где |π(p)⟩ - однопионное состояние с импульсом p. Константа ƒπ может быть получена экспериментально. Действительно, рассмотрим слабый распад π→μν. Эффективный лагранжиан Ферми, описывающий слабые взаимодействия, имеет вид
ℒ
F
int
=(G
F
/√
2
)
μ
γ
λ
(1-γ
5
)ν
μ
u
γ
λ
(1-γ
5
)d+… .
Используя его, мы получаем
F(π→μν)
=
2πGF
√2
u
(ν)
(p
2
)γ
λ
(1-γ
5
)
v
ν
(p
1
,σ)
⟨0|A
λ
ud
(0)|π(p)⟩ .
Исходя из соображений инвариантности, можно написать равенство
⟨0|A
λ
ud
(0)|π(p)⟩=ip
λ
C
π
(31.2б)
свернув которое с компонентой импульса pμ , получим результат Cπ=ƒπ√2/(2π)3/2:
m
2
π
C
π
⟨0|∂
λ
A
λ
ud
(0)|π(p)⟩=√
2
ƒ
π
m
2
π
1
(2π)3/2
;
(31.2в)
следовательно,
r(π→μν)
=
4π
(1-m
2
μ /m
2
π )2 G
2
F ƒ
2
π mπm
2
μ .
Таким образом, константа ƒπ непосредственно связана со скоростью распада π→μν . Экспериментально получено значение ƒπ≈93,3 МэВ. Замечательный факт состоит в том, что, повторив тот же анализ для каонов и используя равенство
θ
μ
A
μ
us
(x)
=
√
2
ƒ
K
m
2
K
φ
K
(x) ,
(31.3)
мы получим экспериментальное значение ƒK≈110 МэВ , которое с точностью 20% согласуется со значением величины ƒπ . В действительности этого и следовало ожидать, так как в пределе mu, d, s→0 разницы между пионами и каонами нет и должно выполняться строгое равенство. Тот факт, что значения ƒπ и ƒK реальном мире оказываются такими близкими, является веским аргументом в пользу киральной симметрии SUF(3).
Соотношения (31.1) и (31.3) иногда называют частичным сохранением аксиального тока (ЧСАТ)47), что не имеет большого смысла, так как эти соотношения на самом деле являются тождествами. Можно использовать любое желаемое пионное поле, в частности поле (31.1) при условии, что оно имеет правильные квантовые числа и его матричный элемент между вакуумным и однопионным состояниями не равен нулю. Нетривиальная часть явления частичного сохранения аксиального тока описана ниже.