γ
μ
(
+m
ƒ
)
γ
ν
(
-k
2
+m
ƒ
)
[(p+k
1
)²-m
2
ƒ
](p²-m
2
ƒ
[(p-k
2
)²-m
2
ƒ
]
(33.17)
Нам нужно вычислить величину qλRλμν . Используя равенство
(
1
+
2
)γ
5
=-
(
-
2
-m
l
)γ
5
+
(
+
1
-m
i
)γ
5
-
(m
i
+m
l
)γ
5
,
приходим к результату
q
λ
R
λμν
ijl
=
-2(m
i
+m
l
)
×
∫
𝑑4p
(2π)4
Tr
γ
5
(
+
1
+m
i
γ
μ
(
+m
j
)
γ
ν
(
-
2
+m
l
)
((p+k
1
)²-m
2
i
)(p
2
-m
2
j
)((p-k
2
)
2
-m
2
l
)
+
a
μν
ijl
(33.18а)
a
μν
ijl
=
2
∫
𝑑
D
p̂ Tr{(
-
2
-m
l
)γ
5
(
+
-m
i
)γ
5
}
×
1
γ
μ
1
γ
ν
1
⋅
(33.18б)
Первый член в (33.18а) соответствует тому, что мы получили бы при непосредственном использовании уравнений движения ∂μqiγμγ5ql = i(mi+ml)qiγ5ql ; второй член описывает аномалию. Приняв в пространстве размерности D для γ-матриц коммутационные соотношения {γμ,γ5}=0, второе слагаемое в формуле (33.18а) можно записать в виде
a
μν
ijl
=
-2
∫
𝑑
D
p̂
⎧
⎨
⎩
Tr γ
5
1
γ
μ
1
γ
ν
+
Tr γ
5
γ
μ
1
γ
ν
1
⎫
⎬
⎭
.
(33.18в)
Отсюда заключаем, что тензор aμν равен нулю, так как каждый член выражения (33.18в) представляет собой антисимметричный тензор, зависящий от единственного вектора (первый член зависит от вектора k1 , второй — от вектора k2), который обращается в нуль. Между прочим, отсюда видно, что тензор a фактически не зависит от масс, так как производная (∂/∂m)aμν сходится, и, таким образом, это доказательство применимо. Следовательно, можно написать aμνijl≡aμν, где тензор aμν получается из исходного тензора, если в нем массы всех частиц положить равными нулю. Аналогичные аргументы показывают, что тензор aμν должен иметь вид
a
μν
=aε
μναβ
k
1α
k
2β
, a=constant,
(33.19а)
так что величину a можно получить двойным дифференцированием тензора aμν:
a=
∂2
∂k1αk2β
a
μν
⎪
⎪
⎪ki=0
.
(33.19б)
Из этих рассуждений и из выражения (33,18в) следует равенство a≡0, противоречащее теореме Велтмана — Сатерленда.
Оказывается, что вывод о тождественном равенстве нулю величины a фактически является иллюзорным. Если провести замену переменных, например p→p+ξk2 , в интеграле (33.18в), то мы получим конечный не равный нулю результат, зависящий от параметра ξ: a=-ξ/(2π²). Отсюда видно, что коммутационные соотношения {γμ,γ5}=049) приводят к неопределенному значению аномалии. Однако если начать с формулы (33.186) и не предполагать антикоммутативности матриц γμ и γ5, то получим
49) Такие коммутационные соотношения внутренне противоричивы. Например, используя формулы, приведенные в приложении А для пространства размерности D≠4, получим Tr γ5γαγμγνγργαγσ = (6-D) Tr γ5γμγνγργσ, в то время как, приложив коммутативность, можем получить выражения Tr γ5γαγμγνγργαγσ = -Tr γ5γμγνγργαγσγα = (D-2) Tr γ5γμγνγργσ, которые отличаются от предыдущих членами O(4-D). Но эти проблемы возникают только в том случае, если имеется по меньшей мере четыре γ-матрицы.
aε
μναβ
=-2
∫
𝑑
D
p̂
Tr γ
5
⎧
⎨
⎩
1