(θ)=Ce
inθ
.
(38.8)
Произвольная константа C может быть выбрана равной единице.
Следствием формулы (38.8) является ортогональность вакуумов, соответствующих разным значениям параметра θ:
⟨θ|θ'⟩=δ(θ-θ'),
(38.9)
так что с точностью до периода каждому значению θ отвечает свой, отличный от других физический мир.
До сих пор мы не учитывали существования фермионов. Теперь мы покажем, как изменяется проведенный выше анализ при введении в рассмотрение n фермионов с исчезающе малой массой. Начнем с того, что напишем снова знакомое нам тождество Уорда (37.12):
∂
μ
⟨θ|TÂ
μ
0
(x)
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩
=-
⎧
⎨
⎩
∑
l
χ
l
δ(x-x
l
)
⎫
⎬
⎭
⟨θ|T
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩,
которое мы проинтегрируем по 𝑑4x:
∫
𝑑
4
x
∂
μ
⟨θ|TÂ
μ
0
(x)
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩
-
⎧
⎩
∑
χ
l
⎫
⎭
⟨θ|T
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩.
Используя формулы (37.6) и (37.8), получим выражение
∫
𝑑
4
x
∂
μ
⟨θ|T
∑
ƒ
q
ƒ
(x)γ
μ
γ
5
q
ƒ
(x)
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩
=
2n
∫
𝑑
4
x
⟨θ|TG
̃
(x)G(x)
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩
-
⎧
⎩
∑
χ
l
⎫
⎭
⟨θ|T
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩.
(38.10)
Здесь следует сделать два замечания. Очевидно, что справедливо равенство
∫
𝑑
4
x
∂
μ
⟨θ|T
∑
ƒ
q
ƒ
(x)γ
μ
γ
5
q
ƒ
(x)
∏
N
j
(x
j
)|θ⟩
=-
lim
q→0
iq
μ
∫
𝑑
4
x
e
iq⋅x
⟨θ|T
∑
ƒ
q
ƒ
(x)γ
μ
γ
5
q
ƒ
(x)
∏
N
j
(x
j
)|θ⟩.
Но если не существует U(1)-бозонов, то это вакуумное среднее не имеет полюса в точке q2 = 0, поэтому результат обращается в нуль. Далее, как было показано выше, введение в формулу оператора топологического заряда QK эквивалентно применению оператора дифференцирования i∂/∂θ. Таким образом, выражение (38.10) принимает вид
2ni
i
∂θ
⟨θ|T
∏
N
j
(x
j
)|θ⟩
=
⎧
⎩
χ
l
⎫
⎭
⟨θ|T
∏
N
j
(x
j
)|θ⟩.
(38.11)
Для случая безмассовых кварков вакуум инвариантен относительно киральных вращений:
|θ⟩=U
φ
|θ⟩, U
φ
=e
-iφQ̂0
;
(38.12)
с другой стороны, используя формулу (37.106), получаем
i
i
∂φ
U
-1
φ
∏
N
j
U
φ
=
⎧
⎩
χ
l
⎫
⎭
U
-1
φ
∏
N
j
U
φ
;
(38.13)
поэтому правую часть уравнения (38.11) можно переписать в виде
i
i
∂φ
⟨θ|T
∏
j
N
j
(x
j
)|θ⟩.
Таким образом, видно, что под действием оператора
2ni
∂
∂θ
-i
∂
∂θ
все функции Грина обращаются в нуль. Это означает, что изменение значения параметра θ может быть скомпенсировано изменением фазы φ. Следовательно, теория θ-вакуума эквивалентна теории с θ=0, а последняя, очевидно, обладает инвариантностью относительно киральных преобразований. Таким образом, в частном случае безмассовых кварков51) параметр θ можно выбрать равным нулю; тогда используемое нами выражение (38.1) для лагранжиана квантовой хромодинамики представляет собой в действительности выражение наиболее общего вида.
51) Бопее детальный анализ показывает, что достаточно, чтобы безмассовым был хотя бы один кварк. Этот результат впервые получен в работе [217].
Можно предположить, что кварки приобретают массу в результате слабых взаимодействий посредством механизма Хиггса, и следует допустить, что в "чистой" квантовой хромодинамике кварки безмассовы. Но нас интересует реальный физический мир, и, таким образом, нельзя избежать (по крайней мере в первом порядке теории возмущений) эффектов, обусловленных слабыми взаимодействиями и нарушающих исходные чисто квантовохромодинамические уравнения51а).
51а) Другая возможность состоит в использовании подходящих хиггсовских систем, обеспечивающих нулевое значение θ [217]. Можно показать, что это приводит к существованию новых псевдоскалярных бозонов ("аксионов", см. [261, 267]). Но нет достаточных данных, чтобы решить, существуют ли они в природе.