Другое возможное предположение связано с тем, что член ℒ1θ нарушает инвариантность по отношению к обращению времени и P-инвариантность. Таким образом, потребовав сохранения P- и T- инвариантности, мы можем положите значение параметра θ равным нулю. Но принять такую точку зрения также невозможно, потому что слабые взаимодействия нарушают T- и P- инвариантность и связанные с этим эффекты могут проявиться в процессах сильного взаимодействия. Если в этом состоит причина возникновения ненулевого значения параметра θ, то имеются довольно веские аргументы [108] в пользу того, что этот эффект мал при условии, что исходное значение параметра θQCD равно нулю.
Возможно, полезнее обсудить экспериментальные ограничения на значения параметра θ. Как показано в § 45, эффекты, связанные с лагранжианом ℒ1θ , в процессах типа глубоконеупругого рассеяния оказываются пренебрежимо малыми. Единственным источником, из которого можно получить информацию о значении параметра θ, являются процессы, нарушающие P- и T- инвариантность. При этом наиболее информативной величиной является дипольный момент нейтрона dn . Вычисления были выполнены dn в работе [33] в которой были уточнены оценки, данные ранее в статье [21]. Получено значение
d
n
≈4×10
-16
|θ| (in e - cm).
(в единицах e-см), в то время как экспериментальное ограничение на дипольный момент нейтрона составляет
d
exp
n
≤1.6×10
-24
,
откуда получаем |θ|≤10-8, т.е. очень малое значение.
Вернемся к рассмотрению проблемы вакуума. Эффекты, обусловленные наличием безмассовых кварков, мы уже обсудили. Теперь необходимо изучить следствия, к которым приводят нарушающие киральную инвариантность "малые" массовые члены. Например, что произойдет, по крайней мере в первом порядке теории возмущений по параметру ε (напомним, что массы кварков выражаются в виде mƒ=εrƒ, где коэффициент rƒ постоянен), при введении в лагранжиан возмущающего члена
∑
m
ƒ
q
ƒ
q
ƒ
.
Мы здесь не будем вдаваться в детальный анализ (заинтересованному читателю рекомендуется обратиться к лекциям [82]), а просто приведем основные результаты. Рассмотрим неравенство
m
-1
u
>
n
∑
ƒ=2
m
-1
ƒ
;
(38.14)
отметим, что из результатов, полученных в § 31, следует, что оно, вероятно, выполняется в реальном мире. Тогда: 1) если неравенство (38.14) справедливо, то топологический заряд квантуется и приобретает только целочисленные значения (например, разность v между двумя собственными значениями операторов K+ и K- представляет собой целое число); 2) если неравенство (38.14) несправедливо, то по меньшей мере существуют дробные значения величины ν. На самом деле для некоторых частных значений масс параметр ν должен принимать иррациональные значения.
Завершим этот параграф двумя замечаниями. Во-первых, мы получили ограничения на спектр операторов K± и выражение для вакуума в терминах собственных векторов этих операторов |n± , но мы не доказали, что спектр этих операторов нетривиален. Действительно, можно представить себе, что все собственные значения n совпадают между собой; тогда о содержании этого параграфа можно сказать: "много шума из ничего". К счастью (или к сожалению , в зависимости от точки зрения), наличие инстантонов свидетельствует о существовании по крайней мере бесконечного счетного множества …, —1, 0, 1, 2, … различных значений параметра n. Это будет показано в §45.
Во-вторых, мы предположили, что безмассовые U(1)-бозоны не существуют. Массы псевдоскалярных мезонов можно оценить так же, как это сделано в § 31. Если повторить вычисления для синглетного тока Aμ0, то получим, что вследствие аномалии уравнение (31.5) приобретет дополнительный член
n
2
ƒ
⎧
⎩
g²
32π²
⎫²
⎭
∫
𝑑
4
x
⟨TG(x)G
̃
(x)G(0)G
̃
(0)⟩
vac
.
(38.15)
Если рассматривать вакуум теории возмущений, то этот член обращается в нуль, однако, как будет показано в § 43 - 45, наличие инстантонных решений, по крайней мере в квазиклассическом приближении, приводит в киральном пределе к ненулевому значению выражения (38.15) [252]. Можно поставить вопрос о справедливости такого приближения. С другой стороны, тот же результат получается в пределе больших чисел цветов [273]. Таким образом, хотя абсолютно строгого доказательства нет, но кажется чрезвычайно вероятным, что квантовая хромодинамика решает проблему U(1).
Глава V ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ; РЕШЕНИЯ, НЕ ОПИСЫВАЕМЫЕ ТЕОРИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 39. Формулировка теории поля на языке интегралов по траекториям
До сих пор мы рассматривали главным образом те аспекты квантовой хромодинамики, которые описываются теорией возмущений. При этом вопрос о том, использовать ли каноническую формулировку теории поля или формулировку, основанную на применении интегралов по траекториям, является в значительной мере делом вкуса. Однако при рассмотрении аспектов КХД, не описываемых теорией возмущений, большей ясности можно достигнуть, используя язык функциональных интегралов. В этом параграфе мы рассмотрим кратко формализм фейнмановских интегралов по траекториям, в частности в применении к теории поля. Конечно, это не может заменить подробного изложения метода функциональных интегралов, которое заинтересованный читатель может найти в лекциях [112, 139] или в учебниках [114, 172, 283].
Начнем с рассмотрения нерелятивистской квантовой механики в одномерном пространстве [121]. Имеется гамильтониан Ĥ, являющийся функцией обобщенных импульсов P̂ и координат Q̂. Предполагается, что гамильтониан записан в "нормальной форме", т.е. все операторы импульса P̂ расположены левее всех операторов координат Q̂. Классический гамильтониан Ĥ можно получить из соотношения
⟨p|Ĥ|q⟩
=
e-ipq
√2π
H(p,q),
(39.1)
Где состояния |p⟩ и |q⟩ удовлетворяют условиям P̂|p⟩=p|p⟩, Q̂|q⟩=q|q⟩, ⟨p|q⟩-ipq/√2π. Оценим матричные элементы оператора эволюции
⟨q''|e
-i(t''-t')Ĥ
|q'⟩.
(39.2)
Для этого запишем разложение оператора эволюции в ряд