e
-itĤ
=
lim
N→∞
⎧
⎪
⎩
1-
it
N
Ĥ
⎫N
⎪
⎭
, t=t''-t',
и вставим суммы по полным наборам векторов состояний
⟨q''|e
-i(t''-t')Ĥ
|q'⟩
=
lim
N→∞
∫
∏
𝑑pn
2π
∏
𝑑qn
2π
⟨q''|p
N
⟩
⟨p
N
|1-
it
N
Ĥ|q
N
⟩
×
⟨q
N
|p
N-1
⟩
⟨p
N-1
|1-
it
N
Ĥ|q
N-1
⟩…
⟨p
N
|1-
it
N
Ĥ|q'⟩.
Используя соотношение (39.1), получим
⟨p
n
|1-
it
N
Ĥ|q
n
⟩=
exp{-ipnqn-(it/N)H(pn,qn)}
√2π
+O
⎧
⎩
1
N²
⎫
⎭
,
так что окончательный результат имеет вид
⟨q''|e
-i(t''-t')Ĥ
|q'⟩
=
lim
N
∫
∏
𝑑pn
2π
∏
𝑑q
n
×
exp i
⎧
⎨
⎩
p
N
(q
''
N
-q
N
)+…+p
1
(q
1
-q')
-
t
N
(H(p
N
,q
N
)…H(p
1
,q'))
⎫
⎬
⎭
(39.3)
Использованный Фейнманом прием заключается во введении в рассмотрение двух функций p(t) и q(t), определяемых условиями p(tn)=pn и q(tn)=qn . Используя эти функции, можно перейти от интегралов по дискретным переменным к интегралам по непрерывным распределениям:
∏
n
𝑑pn
2π
→
∏
t
𝑑p(t)
2π
,
∏
n
𝑑qn
2π
→
∏
t
𝑑q(t)
2π
,
(39.4)
т.е. теперь интегрирование производится по всем функциям, а член в скобках в (39.3) принимает вид
∫
t''
t'
𝑑t
{p(t)q̇(t)-H(p(t),q(t))}, ƒ̇≡
𝑑ƒ
𝑑t
.
Тогда полное выражение (39.3) имеет вид
⟨q''|e
-itĤ
|q⟩
=
∫
∏
t
𝑑q(t)𝑑p(t)
2π
exp i
∫
t'',q''
t',q'
𝑑t(pq̇-H).
(39.5)
Конечно, это выражение написано формально51б) и имеет смысл только как предел выражения (39.3), но в этом отношении оно не очень сильно отличается от стандартного римановского определения обычного интеграла. Важная особенность выражения (39.5) состоит в том, что в него входят только классические c-числовые функции. Таким образом, сложные операторные вычисления мы свели к вычислениям функциональных интегралов.
51б) Строгое определение функциональных интегралов типа (39.5) см. в работе [2б4]
Выражение (39.5) можно упростить. Если гамильтониан H имеет вид H=p²/(2m)+V(q), то интеграл по импульсам 𝑑p оказывается гауссовым, и его можно вычислить точно. Производя замену переменной p→p-mq̇, получаем
∫
∏
t
𝑑p(t)
2π
exp i
∫
𝑑t
⎧
⎩
pq̇-
p²
2m
⎫
⎭
=
∫
∏
t
𝑑p(t)
2π
exp
⎧
⎩
-i
∫
𝑑t
p²(t)
2m
⎫
⎭
exp
⎧
⎩
i
∫
𝑑t
mq̇²(t)
2
⎫
⎭
;
следовательно, выполняя интегрирование, находим
⟨q''|e
-i(t''-t')Ĥ
|q'⟩
=N
∫
∏
t
𝑑q(t) exp i
∫
q'',t''
q',t'
𝑑t L[q(t),q̇(t)].
(39.6)
При этом разность mq²-V отождествляется с лагранжианом L, и вводится нормировочный множитель N, не зависящий от динамики взаимодействий:
N=
∫
∏
t
𝑑p(t)
2π
exp
⎧
⎨
⎩
-i
∫
𝑑t
p²(t)
2m
⎫
⎬
⎭
.
Обобщение выражения (39.6) на случай нескольких степеней свободы очевидно. Будем использовать обозначение q(t,k) вместо обозначения qk(t), k=1,…,n, имея в виду применение полученных формул в теории поля, где число степеней свободы бесконечно. Лагранжиан L (плотность лагранжевой функции) определим формулой L=∑lℒ. Используя введенные обозначения, получим
⟨q''|e
-i(t''-t')Ĥ
|q'⟩
=
N
∫
∏
t,k
𝑑q(t,k)
×
exp
⎧
⎨
⎩
i
∫
q'',t''
q',t'
𝑑t
∑
k
ℒ[q(t,k);q̇(t,k)]
⎫
⎬
⎭
(39.7)
Это выражение непосредственно обобщается на случай теории поля. Рассмотрим Для простоты одно поле φ; роль переменной k здесь играет пространственная координата ⃗x. Если выбрать состояние |φ(t,⃗x)⟩ так, чтобы выполнялось условие
φ̂(x)|φ(x)⟩=φ(x)|φ(x)⟩,
то для таких состоянии справедливо соотношение
⟨φ(t'',⃗x)|e
-i(t-t')Ĥ
|φ(t',⃗x')⟩
=
N
∫
∏
x
𝑑φ(x)
×
exp
⎧
⎨
⎩
i
∫
t''
t'
𝑑
4
x ℒ(φ,∂φ)
⎫
⎬
⎭
.
(39.8)