Конечно, как и в случае обычной квантовой механики, функциональный интеграл следует понимать как некоторую предельную процедуру. Рассмотрим объем четырехмерного пространства V и разобьем его на конечное число n ячеек. Пусть точки xj, j=1,…,n, лежат внутри j-й ячейки, каждая из которых имеет четырехмерный объем δ. Тогда правая часть соотношения (39.8) определяется как предел
lim
V→∞
∫
𝑑φ(x
1
)…𝑑φ(x
n
)
e
iδ∑jℒ[φ(xj),∂φ(xj)]
n→∞
δ→0
(39.9)
(ниже мы увидим, что нормировочный множитель N из формул для амплитуд переходов выпадает). Для получения матричных элементов S-матрицы или функций Грина требуется вычислить вакуумные средние ⟨Tφ(x)…φ(z)⟩0. Для этого рассмотрим амплитуду перехода вакуум - вакуум
⟨0|Ŝ|0⟩=
lim
t'→-∞
⟨0|e
-i(t''-t')Ĥ
|0⟩;
t''→+∞
введя источники, получим функции Грина. Согласно формуле (39.7), справедливо равенство
⟨0|Ŝ|0⟩=N
∫
∏
x
𝑑φ(x) exp i𝓐, 𝓐=
∫
𝑑
4
x ℒ;
(39.10)
здесь 𝓐 - действие. Добавим к лагранжиану ℒ член, содержащий источник:
ℒ
η
=ℒ+η(x)φ(x), 𝓐
η
=
∫
𝑑
4
x ℒ
η
,
и определим производящий функционал
Z[η]=N
∫
∏
x
𝑑φ(x) exp i𝓐
η
.
В дальнейшем будет показана справедливость соотношения
δnlog Z[η]
δη(x1)…δη(xn)
⎪
⎪
⎪η=0
=
in⟨Tφ̂(x1)…φ̂(xn)⟩0
⟨Ŝ⟩0
,
(39.12)
где правая часть представляет собой связанную функцию Грина, которую до сих пор мы обозначали как
⟨Tφ̂(x
1
)…φ̂(x
n
)⟩
0
включая фазу ⟨Ŝ⟩0 в определение физической Ŝ-матрицы. Мы докажем соотношение (39.12) для случая свободных полей (вывод с учетом взаимодействия приводится несколько ниже). Соответствующий лагранжиан имеет вид
ℒ=½∂
μ
φ∂
μ
φ-½m²φ²
=-½φ{∂²-m²}φ+4-дивергенция.
Технический прием состоит в приведении интеграла к гауссовой форме. С этой целью определим поле φ' формулой
φ'(x)=(∂²+m²)
½
φ(x),
которая справедлива при условии
φ'(x)
=
∫
𝑑
4
x K
-½
(x-y)φ(y),
K(z)
=
-1
(2π)4
∫
𝑑
4
k
eik⋅z
k²+m²+i0
=i
Δ
(z).
(39.13)
Правило обхода полюса, задаваемое добавкой +i0, гарантирует получение хронологических произведений. Тогда для производящего функционала получаем
Z[η]
=
N
∫
∏
x
𝑑φ'(x) det(∂φ/∂φ')
×
exp i
∫
𝑑
4
x
⎧
⎨
⎩
-1
2
φ'(x)φ'(x)+
∫
𝑑
4
yη(x)K
½
(x-y)φ'(y)
⎫
⎬
⎭
;
здесь det(∂φ/∂φ') - якобиан перехода (бесконечномерный) от переменной φ к переменной φ'. Последний шаг состоит в замене переменной интегрирования:
φ'(x)=φ''(x)+
∫
𝑑
4
y K
½
(x-y)η(y).
Таким образом, окончательный результат имеет вид
Z[η]
=
⎧
⎨
⎩
N
∫
∏
x
𝑑φ''(x) det(∂φ/∂φ'')
e
-i∫𝑑4xφ-2/2
⎫
⎬
⎭
×
e
(i²/2)∫𝑑4x𝑑4y η(x)Δ(x-y)η(y)
,
(39.14)
где Δ(x-y) - пропагатор поля:
Δ(x)=
i
(2π)4
∫
𝑑
4
k
e-ik⋅x
k2-m2+i0
=
⟨Tφ(x)φ(0)⟩
0
.
Член в фигурных скобках в правой части (39.14) не зависит от величины источника η; следовательно, при взятии логарифмической производной он сократится. Поэтому для производящего функционала можно написать выражение
Z[η]=
N
exp
⎧
⎨
⎩
i²
2
∫
𝑑
4
x𝑑
4
y η(x)
Δ
(x-y)η(y)
⎫
⎬
⎭
,
(39.15)
из которого непосредственно получается соотношение (39.12).
Введение в рассмотрение векторных полей не вносит каких-либо трудностей; точно так же, как и в предыдущем случае, операторные вставки связаны с введением внешних источников (пример приведен в § 42). Но включение фермионных полей требует некоторых усложнений. При этом возникает необходимость во введении на классическом уровне антикоммутрующих c -числовых величин52), определяемых соотношениями
52) В математической литературе такая структура называется грассмановой алгеброй. Подробное изложение этого вопроса можно найти в книге [37].
ψ(x)ψ(y)=-ψ(y)ψ(x), [ψ(x)]²=0.
Функционал (классических) фермионных полей в общем виде определяется выражением
F[ψ]
=
K
0
+
∫
𝑑x
1
K
1
(x
1
)ψ(x
1
)+…
+
∫
𝑑x
1
…𝑑x
2
K
n
(x
1
,…,x
2
)ψ(x
1
)…ψ(x
n
)+…,
где K1 - антикоммутирующая функция, а функции Kn при n≥2 можно считать полностью антисимметричными по своим аргументам. Из определения функциональной производной
δF[ψ]
δψ(x)
=
lim
ε→0