F[ψ+εδx]-F[ψ]
ε
,
где ε - антикоммутирующее c -число, удовлетворяющее условиям
εψ=-ψε, ε²=0.
следует справедливость равенства
δnF[ψ]
δψ(xn)…δψ(x1)
⎪
⎪
⎪ψ=0
=n!K
n
(x
1
,…,x
n
).
Отметим обратный порядок следования переменных x в левой части равенства. Это вызвано антикоммутативностью полей ψ в силу которой
δ2
δψ1δψ2
=-
δ2
δψ2δψ1
Интегрирование по антикоммутирующим функциям также обладает рядом особенностей. Чтобы все построения были последовательны, необходимо потребовать выполнения соотношений
∫
𝑑ψ(x)=0,
∫
𝑑ψ(x)ψ(y)=δ(x-y).
Наконец, если мы хотим получить одночастчно-неприводимые функции Грина, т.е. такие функции Грина, которые остаются связанными при рассечении их по одной внутренней линии, мы должны взять функциональную производную не по функции η, а по новому полю φ от нового производящего функционала Γ[φ]:
Γ[
φ
]
=
1
i
log Z[η]-
∫
𝑑
4
x η(x)
φ
(x),
(39.16а)
φ
(x)
≡
-iδlog Z[η]
δη(x)
.
(39.16б)
Отметим, что поле φ представляет собой вакуумное среднее оператора φ̂.
Доказательство того, что величина Γ порождает одночастично-неприводимые функции Грина, очевидно из тождества, к доказательству которого мы переходим. Продифференцировав дважды новый производящий функционал Γ(φ), получаем
δ²Γ
δφ(x)δφ(y)
=-
δη(x)
δφ(y)
=
⎡
⎢
⎣
-
δφ(y)
δη(x)
⎤-1
⎥
⎦
=-i
Δ
-1
(x-y),
откуда, в частности, следует равенство Δ{δ²Γ/[δφ(x)δφ(y)]}Δ=iΔ; с точностью до коэффициента i пропагатор Δ оказьшается равным одночастичнонеприводимой функции Грина в обкладках из пропагаторов. В более общем виде имеем соотношение
δ
δφ
=
⎡
⎢
⎣
δη
δψ
δ
δη
⎤
⎥
⎦
=-i
Δ
-1
(x-y)
δ
δη
(39.17)
которое требовалось найти.
§ 40. Приближение ВКБ в формализме интегралов по траекториям; туннелирование
В обычной квантовой механике приближение ВКБ состоит в разложении рассматриваемых величин по степеням постоянной Планка ħ. В нулевом порядке получаются классические траектории; члены высших порядков по ħ описывают квантовые поправки к классическим решениям. В теории поля приближение ВКБ особенно удобно формулировать на языке интегралов по траекториям. Чтобы использовать метод ВКБ, мы теперь не будем полагать постоянную Планка равной единице, а сохраним ее в явном виде в выражении для производящего функционала (39.11):
Z[η]=
∫
∏
x
𝑑φ(x) exp
i
ħ
𝓐
η
[φ],
(40.1)
поля же и импульсы представим в виде рядов
φ(x)=φ
cl
(x)+
ħ
½
φ̃(x)+…,
π(x)=∂
0
φ
cl
(x)+
ħ
½
π̃(x)+…,
(40.2)
и сравним коэффициенты при одинаковых степенях постоянной Планка ħ. Член φcl представляет собой решение классического уравнения движения
∂²φ
cl
+m²φ
cl
=
∂ℒint
∂φ
⎪
⎪
⎪φ=φcl
,
(40.3а)
или, что эквивалентно, имеет вид
φ
cl
(x)=φ
0
(x)+i
∫
𝑑
4
y
Δ
(x-y)
∂ℒint
∂φ
⎪
⎪
⎪φ=φcl
,
(40.3б)
где φ0 — свободное классическое поле, удовлетворяющее однородному уравнению (∂²+m²)φ0=0. Поскольку поле φcl удовлетворяет уравнению движения, действие 𝓐[φcl] достигает на этом поле экстремума: мы разлагаем выражение (40.1) в ряд в окрестности этой стационарной фазы. Нулевой порядок теории возмущений по константе ħ соответствует древесному приближению; поправки старших порядков описывают вклады различных петлевых диаграмм. Применимость этого метода основана на том, что в каждом порядке теории возмущений возникающие интегралы имеют гауссову форму и, следовательно, могут быть вычислены аналитически. Покажем это на примерю вычисления поправки первого порядка. В первом порядке по константе ħ действие 𝓐 имеет вид
𝓐=𝓐[φ
cl
]-
1
2
∫
𝑑
4
x
⎧
⎨
⎩
φ̃(x)(∂²+m²)φ̃(x)-
∂²ℒint(φ)
φ2
⎪
⎪
⎪φ=φcl
φ̃(x)φ̃(x)
⎫
⎬
⎭
.
Проведем замену переменной
φ̃(x)→φ'(x)=
⎧
⎨
⎩
∂²+m²-
∂²ℒint
∂φ²
⎫½
⎬
⎭
φ̃(x),
и для производящего функционала получим следующий результат:
Z=(constant) exp
⎧
⎨
⎩
-
1
2
Tr log
⎡
⎢
⎣
1-
(∂²+m²)
-1
∂²ℒint
∂φ²
⎪
⎪
⎪φ=φcl
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
Z
tree
,
(40.4а)
где, используя (40.3) и соотношение i(∂²+m)Δ(x)=δ(x), производящий функционал древесного приближения Ztree можно записать в виде
Z
tree
=
N exp
i
ħ
⎧
⎨
⎩
∫
𝑑
4
x ℒ
int
(φ
cl
)-
i
2
∫
𝑑
4
x𝑑
4
y
∂ℒint
∂φ(x)
⎪
⎪
⎪φ=φcl
×
Δ
(x-y)
∂ℒint
∂φ(y)