Фиг. 1.6. Аналогичный эксперимент со светом.
Два луча света, находящиеся в одинаковых фазах в точках 1 и 2, будут усиливать друг друга при попадании па экран 𝐶, если они проходят расстояние между экранами 𝐵 и 𝐶 за одинаковое время. Это означает, что максимум в дифракционной картине, возникающий при прохождении лучей света через два отверстия, будет находиться в центре экрана. Следующий максимум будет расположен ниже центра экрана настолько, чтобы достигающий этой точки луч из отверстия 1 проходил путь точно на одну длину волны больший, чем луч из отверстия 2.
Интерференция в эксперименте — признак волнового поведения электронов. Поскольку картина та же, что и в случае любого волнового движения, мы можем воспользоваться хорошо известным в теории дифракции света соотношением, которое связывает расстояние а между отверстиями, расстояние l от экрана 𝐵 до плоскости 𝐶, длину волны света λ и расстояние между максимумами d:
𝑎
𝑙
=
λ
𝑑
(1.4)
(фиг. 1.6). В гл. 3 мы покажем, что длина волны электрона неразрывно связана с его импульсом соотношением
𝑝=
ℎ
λ
.
(1.5)
Если 𝑝 — полный импульс электрона (а мы предполагаем, что все пролетающие электроны имеют одинаковый полный импульс), то из фиг. 1.7 видно, что в случае 𝑙 ≫ 𝑎
δ𝑝
𝑝
≈
𝑎
𝑙
.
(1.6)
Отсюда следует, что
𝑑=
ℎ
δ𝑝
.
(1.7)
Поскольку из опыта мы знаем, что интерференционная картина исчезла, то неопределённость δ𝑥 в измерении положения экрана 𝐶 должна быть больше 𝑑/2. Следовательно,
δ𝑝δ𝑥≥
ℎ
2
,
(1.8)
что согласуется (по порядку величины) с обычной формулировкой принципа неопределённости.
Фиг. 1.7. Отклонение электрона при прохождении через отверстие в экране 𝐵.
Оно фактически сводится к изменению импульса δ𝑝. В направлении, приблизительно перпендикулярном исходному вектору импульса; к нему добавляется небольшая составляющая. Изменение энергии совершенно ничтожно, и при малых углах отклонения абсолютное значение полного импульса практически не меняется. Поэтому угол отклонения с высокой точностью можно положить равным |δ𝑝|/|𝑝|. Если в одну и ту же точку на экране 𝐶 попадают два электрона, один из которых вылетал из отверстия 1 с импульсом 𝑝1, а другой — из отверстия 2 с импульсом 𝑝1, то углы, на которые они отклонились, должны отличаться приблизительно на величину 𝑎/𝑙. Поскольку мы не можем сказать, через какое отверстие прилетел электрон, неопределённость вертикальной составляющей импульса, которую он приобретает при прохождении через экран 𝐵, должна быть эквивалентна неопределённости в угле отклонения. Это даёт соотношение |𝑝1-𝑝2|/|𝑝|=|δ𝑝|/|𝑝|=𝑎/𝑙.
Подобный же анализ можно применить и к тому измерительному устройству, где использовалось рассеяние света для определения того, через какое отверстие проходит электрон; для погрешностей измерений мы получим ту же самую оценку.