§ 1. Определение матричных элементов перехода
Изменение квантовомеханической системы во времени можно представить себе следующим образом. В начальный момент 𝑡1 состояние описывается волновой функцией ψ(𝑥1,𝑡1). В более поздний момент времени 𝑡2 это начальное состояние переходит в состояние ψ(𝑥2,𝑡2).
Предположим, что в момент 𝑡2 мы задаём вопрос: какова вероятность найти систему в некотором состоянии χ(𝑥2,𝑡2)? Как мы знаем из общих соображений, развитых в гл. 5, вероятность того, что система будет находиться в определённом состоянии, пропорциональна квадрату модуля амплитуды, определяемой интегралом
∫
χ*(𝑥
2
,𝑡
2
)
φ(𝑥
2
,𝑡
2
)
𝑑𝑥
2
Из гл. 3 нам также известно, что функция φ может быть выражена через начальную волновую функцию с помощью ядра 𝐾, описывающего движение системы в интервале между моментами времени 𝑡1 и 𝑡2. Поэтому при отыскании вероятности пребывания системы в каком-то определённом состоянии можно исходить из начальной волновой функции φ, учитывая зависимость от времени с помощью ядра 𝐾(2,1).
Результирующую амплитуду, абсолютная величина которой даёт искомую вероятность, назовём амплитудой перехода и обозначим её так:
⟨χ|1|ψ⟩
=
∫∫
χ*(𝑥
2
)
𝐾(2,1)
ψ(𝑥
1
)
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
1
.
(7.1)
При описании процесса перехода для нас было бы сейчас предпочтительнее вернуться к более общим обозначениям. Введём для этого снова функцию действия 𝑆, описывающую поведение системы в интервале между двумя моментами времени, и запишем амплитуду перехода в виде
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆
=
∫
𝑥2
∫
𝑥1
∫
χ*(𝑥
0
)
𝑒
𝑖𝑆/ℏ
ψ(𝑥
1
)
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
.
(7.2)
Здесь мы применяем более точное обозначение, добавив в амплитуду перехода индекс 𝑆, чтобы указать величину действия, входящего в интеграл. Этот интеграл необходимо взять по всем траекториям, которые соединяют точки 𝑥1 и 𝑥2, результат умножить на две волновые функции и затем ещё раз проинтегрировать по всем пространственным переменным в указанных пределах.
Прежде чем пойти дальше, договоримся о новых, лучших обозначениях, с тем чтобы охватить более общие случаи. Введём функционал 𝐹[𝑥(𝑡)], не касаясь пока его физической природы. С помощью этого функционала определим матричный элемент перехода как
⟨χ|𝐹|ψ⟩
𝑆
=
∫∫∫
χ*(𝑥
2
)
𝐹[𝑥(𝑡)]
𝑒
𝑖𝑆/ℏ
ψ(𝑥
1
)
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
.
(7.3)
Здесь 𝐹 — некоторый функционал от 𝑥(𝑡), не зависящий от значений функции 𝑥(𝑡) на границе и вне области изменения переменных 𝑥1 и 𝑥2. В частном случае, когда 𝐹=1, интеграл (7.3) определяет амплитуду перехода.
Матричные элементы перехода трудно представить себе, если опираться на интуитивные понятия. Поэтому для того, чтобы хотя бы частично использовать такие понятия, обычно обращаются к некоторой классической аналогии. Рассмотрим, например, картину броуновского движения какой-то очень маленькой частицы. Пусть в некоторый начальный момент 𝑡=𝑡1 эта частица находится в точке 𝑥1 и мы ищем вероятность того, что частица достигнет точки 𝑥2 в момент 𝑡=𝑡2. В случае квантовомеханических частиц мы обычно говорим о переходе из начального в некоторое конечное состояние. Поэтому точка 𝑥1 для броуновской частицы соответствует начальной волновой функции ψ(𝑥1) в выражении (7.2), а точка 𝑥2 — функции χ(𝑥2). Далее, решение квантовомеханической задачи требует интегрирования по переменным 𝑥1 и 𝑥2 начального и конечного состояний — шаг, совершенно ненужный в нашей классической задаче.