Классическую задачу можно решить, рассматривая все возможные траектории движения частиц. При этом мы должны были бы вклад каждой траектории брать с весом, равным вероятности того, что частица действительно следует вдоль такой траектории, и вычислить интеграл по всем траекториям. Весовая функция здесь будет соответствовать члену 𝑒𝑖𝑆/ℏ, входящему в интеграл (7-2).
Конечное положение частицы в такой задаче не будет определяться отдельной точкой, а выразится некоторой малой окрестностью точки 𝑥2 (от 𝑥2 до 𝑥2+𝑑𝑥). После соответствующей нормировки результат будет иметь вид функции распределения 𝑃(𝑥2)𝑑𝑥2, определяющей вероятность достижения бесконечно малой окрестности точки 𝑥2. Эта функция является аналогом амплитуды перехода (7.2), в случае, когда ψ и χ являются δ-функциями пространственных координат.
Допустим теперь, что мы хотим узнать о движении несколько больше, чем просто относительную вероятность достижения точки 𝑥2: например, мы хотели бы найти ускорение, которое будет иметь частица через некоторое определённое время (скажем, 1 сек) после начала движения. Для этого нам нужно было бы знать вероятные значения всех ускорений, т.е. величину ускорения для каждой возможной траектории, взятую с весом, равным вероятности движения вдоль этой траектории. Такая усреднённая величина будет соответствовать матричному элементу перехода (7.3). Суть этого утверждения заключается в том, что в подынтегральную функцию соотношения (7.3) мы вместо функции 𝐹[𝑥(𝑡)] должны подставить ускорение, взятое в некоторый момент времени 𝑡. С помощью интегралов по траекториям решение классической задачи можно представить в виде, очень похожем на соотношение (7.3).
Далее в этой главе мы будем пользоваться подобной аналогией и время от времени будем рассматривать матричные элементы перехода как «взвешенные средние». Необходимо, однако, помнить, что весовая функция в квантовой механике является комплексной величиной и поэтому результат не будет «средним» в обычном смысле этого слова.
Описание броуновского движения методом интегралов по траекториям, как это было показано в нашей классической аналогии, действительно является очень мощным методом. Детально это будет рассмотрено в гл. 12, а сейчас мы с помощью теории возмущений, развитой в гл. 6, попытаемся ещё несколько прояснить смысл матричного элемента перехода.
Случай малых возмущений. Предположим, что действие, описывающее движение системы, можно разделить на две части: 𝑆=𝑆0+σ, где 𝑆0 приводит лишь к простым интегралам по траекториям, в то время как оставшаяся часть а достаточно мала и мы можем применить метод теории возмущений. Экспоненциальную функцию в соотношении (7.2) представим в виде
𝑒
𝑖𝑆/ℏ
=
𝑒
𝑖𝑆0/ℏ
𝑒
𝑖σ/ℏ
.
(7.4)
Учитывая теперь соотношение (7.3), запишем матричный элемент перехода (7.2) в виде
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆0+σ
=
⟨χ|𝑒
𝑖σ/ℏ
|ψ⟩
𝑆0
,
(7.5)
а после разложения экспоненты в ряд получим
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆0+σ
=
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆0
+
𝑖
ℏ
⟨χ|σ|ψ⟩
𝑆0
-
1
2ℏ²
⟨χ|σ²|ψ⟩
𝑆0
+… .
(7.6)
Этот ряд является обобщением разложения (6.3) и может рассматриваться как основа теории возмущений. Отсюда можно получить матричные элементы перехода, встречающиеся в целом ряде квантовомеханических задач.
Предположим, что возмущающий потенциал и обусловленная им часть функции действия σ связаны соотношением
σ=
∫
𝑉[χ(𝑡),𝑡]
𝑑𝑡
.
(7.7)
В этом случае в первом приближении получим матричный элемент перехода
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆0
=
∫
⟨|𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]|φ⟩
𝑆0
𝑑𝑡
.
(7.8)
Чтобы вычислить его, нужно взять интеграл
⟨|𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]|φ⟩