⟨χ|
𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
|ψ⟩
=
∫∫
χ*(4)
𝑉(4)
𝐾
0
(4,3)
𝑉(3)
ψ(3)
𝑑𝑥
3
𝑑𝑥
4
,
(7.15)
где мы обозначили 𝑡3=𝑠; 𝑡4=𝑡 для случая 𝑠<𝑡 и 𝑡3=𝑡; 𝑡4=𝑠 для 𝑠>𝑡.
Таким образом, член второго порядка в разложении теории возмущений имеет вид
1
2ℏ²
⟨χ|
∫
𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑑𝑡
∫
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
𝑑𝑠
|ψ⟩
=
=
∫∫
χ*(4)
𝑉(4)
𝐾
0
(4,3)
ψ(3)
𝑑𝑥
3
𝑑𝑡
3
𝑑𝑥
4
𝑑𝑡
4
,
(7.16)
что можно понимать как обобщение амплитуды перехода (6.74). Нетрудно написать также выражения, содержащие три или более функций.
Соотношение (7.4) соответствует и более общему виду теории возмущений. Для примера рассмотрим частицу, взаимодействующую с каким-либо осциллятором. После интегрирования по координатам осциллятора результирующую функцию действия можно написать как 𝑆0+σ, где (см. § 10 гл. 3)
σ=
1
𝑚ω sin 𝑚𝑇
𝑡2
∫
𝑡1
𝑡
∫
𝑡1
𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]
sin ω(𝑡
2
-𝑡)
sin ω(𝑠-𝑡
1
)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
.
(7.17)
Функционал 𝑔[𝑥(𝑡),𝑡] здесь характеризует взаимодействие частицы и осциллятора; 𝑇=𝑡2-𝑡1.
Как уже отмечалось, практическое вычисление интегралов по траекториям, содержащих такую сложную функцию действия, очень затруднительно, однако если можно ожидать, что эффект, вызываемый сложным членом а, невелик, то искомый результат легко получить, разложив экспоненту (7.4) в ряд по возмущениям. Для иллюстрации найдём член первого порядка в таком разложении (т.е. первую борновскую поправку). Используя для δ выражение (7.17), можно вычислить член (𝑖/ℏ)⟨χ|δ|ψ⟩𝑆0, записав его в виде
𝑖
ℏ
⟨χ|σ|ψ⟩
𝑆0
=
1
𝑚ω sin 𝑚𝑇
𝑡2
∫
𝑡1
𝑡
∫
𝑡1
⟨|
𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]
|ψ⟩
𝑆0
×
×
sin ω(𝑡
2
-𝑡)
sin ω(𝑠-𝑡
1
)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
,
(7.18)
так что наиболее трудная часть задачи сводится к отысканию выражения ⟨χ|𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]|ψ⟩𝑆0.
Но это выражение мы уже встречали в соотношении (7.15), с той лишь разницей, что вместо 𝑔 там стояло 𝑉. Поэтому мы можем написать
⟨χ|𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]|ψ⟩
𝑆0
=
=
∫∫
χ*(4)
𝑔[𝑥(𝑡
4
),𝑡
4
]
𝐾
0
(4,3)
𝑔[𝑥(𝑡
3
),𝑡
3
]
ψ(3)
𝑑𝑥
3
𝑑𝑥
4
,
(7.19)
Подставив результат в соотношение (7.18), получим окончательное выражение для первой борновской поправки (𝑖/ℏ)⟨χ|σ|ψ⟩𝑆0.
Заметим, что с матричными элементами перехода мы будем часто встречаться в дальнейшем и в каждом случае их можно будет вычислить так, как только что было показано. Поэтому лишь малая часть излагаемого ниже окажется существенной для дальнейшего рассмотрения. Тем не менее существуют веские соображения, исходя из которых мы и включили этот материал в нашу книгу. Во-первых, возникает возможность получить весьма общие соотношения между матричными элементами перехода, которые можно было бы рассматривать в качестве отправной точки для нового построения квантовой механики. Во-вторых, для тех, кто хорошо знаком с более привычным операторным изложением квантовой мехнаники, мы предлагаем нечто вроде пособия для перевода с одного языка на другой, что поможет перейти от обычного представления к представлению, используемому в данной книге, т.е. к выражениям, подобным (7.3).