Пользуясь этими правилами перевода, содержание последующих глав, изложенное на языке интегралов по траекториям, можно понять и перевести на язык более привычных символов.
Соотношения, рассматриваемые ниже в данной главе, не зависят от вида волновых функций, описывающих начальное или конечное состояние системы; вид этих функций важен лишь при определении интеграла для матричного элемента перехода. Поэтому применим сокращённые обозначения, опустив всё, что характеризует волновые функции; матричный элемент перехода будет теперь обозначаться как ⟨𝐹⟩𝑆 вместо старого обозначения ⟨χ|𝐹|ψ⟩𝑆.
§ 2. Функциональные производные
Обратимся теперь к рассмотрению математического аппарата, который позволит нам в дальнейшем установить интересное соотношение между матричными элементами перехода. Это соотношение приобретает наиболее изящный вид, если воспользоваться понятием функциональной производной. Поскольку с этим математическим понятием знакомы далеко не все, мы целиком посвятим этот параграф его обсуждению.
Численное значение функционала 𝐹[𝑥(𝑡)] определено для каждой заданной функции 𝑥(𝑡). Зададимся вопросом: как изменится это значение, если немного изменить аргументную функцию 𝑥(𝑡)? Другими словами, как велика будет разность 𝐹[𝑥(𝑡)+η(𝑡)]-𝐹[𝑥(𝑡)], если η(𝑡) мало? В первом приближении по η (предполагая, что таковое существует и т.д.) эта разность представляет собой некоторое линейное относительно η выражение типа ∫𝐾(𝑠)η(𝑠)𝑑𝑠. Определённая таким образом величина 𝐾(𝑠) называется функциональной производной функционала 𝐹 по функции 𝑥(𝑡) в точке 𝑠 и обозначается как δ𝐹/δ𝑥(𝑡). Поэтому с точностью до членов первого порядка можно записать соотношение
𝐹[𝑥+η]
𝐹[𝑥]
+
∫
δ𝐹
δ𝑥(𝑥)
η(𝑠)
𝑑𝑠
+… .
(7.20)
Понятно, что производная δ𝐹/δ𝑥(𝑡) зависит как от вида функции 𝑥(𝑡), так и от значения переменной 𝑠, т.е. она является функционалом от 𝑥(𝑡) и функцией времени 𝑠.
Можно посмотреть на все это и с другой точки зрения. Предположим, что время разделено моментами 𝑡𝑖 на очень много маленьких отрезков Δ𝑡=ε(𝑡𝑖+1=ε+𝑡𝑖).. В этом случае функцию 𝑥(𝑡) можно приближённо задать её значениями 𝑥𝑖=𝑥(𝑡𝑖) в моменты 𝑡𝑖. Функционал 𝐹[𝑥(𝑡)] будет тогда зависеть от всех величин 𝑥𝑖, т.е. он превращается в обычную функцию многих переменных 𝑥𝑖.
𝐹[𝑥(𝑡)]
→
𝐹(…,
𝑥
𝑖
,
𝑥
𝑖+1
,
…).
(7.21)
Рассмотрим теперь ∂𝐹/∂𝑥𝑖 — частную производную этой функции по одному из переменных 𝑥𝑖. Наша функциональная производная есть не что иное, как в точности эта частная производная, поделённая на ε и взятая в точке 𝑡𝑖=𝑠, т.е.
δ𝐹
δ𝑥(𝑠)
→
1
ε
∂𝐹
∂𝑥𝑖
(7.22)
В этом легко убедиться следующим образом. Если траекторию 𝑥(𝑡) заменить на 𝑥(𝑡)+η(𝑡), то все значения 𝑥𝑖 заменятся на 𝑥𝑖+η𝑖, где η𝑖=η(𝑡𝑖), поэтому в первом приближении получаем
𝐹(…,
𝑥
𝑖
+
η
𝑖
,
𝑥
𝑖+1
+
η
𝑖+1
,
…)-
-
𝐹(…,
𝑥
𝑖
,
𝑥
𝑖+1
,
…).
=
∑
𝑖
∂𝐹
∂𝑥𝑖
η
𝑖
,
(7.23)
что следует из обычных правил вычисления частных производных. Если теперь обозначить (1/ε)(∂𝐹/∂𝑥𝑖)=𝐾𝑖, то сумма в (7.23) запишется как
∑
𝑖
𝐾
𝑖
η
𝑖
ε
и в пределе при ε→0 перейдёт в интеграл ∫𝐾(𝑡)η(𝑡)𝑑𝑡, так что если этот предел существует, то он равен функциональной производной δ𝐹/δ𝑥(𝑠).
Можно также воспользоваться понятием дифференциала. При этом сразу пишется выражение
𝑑𝑓
=
∑
𝑖
∂𝑓
∂𝑥𝑖
𝑑𝑥
𝑖
,
и для первой вариации любого заданного функционала 𝐹 получим