Можно получить ещё одну форму этого соотношения, если проделать разбиение временного интервала на ε-отрезки, а функционалы заменить функциями переменных 𝑥(𝑖), соответствующих моментам 𝑡(𝑖). Рассматривая далее интеграл по траекториям
∫
∂𝐹
∂𝑥𝑘
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
,
(7.31)
где 𝑡𝑘 — некоторый промежуточный момент, не являющийся концом временного интервала, мы видим, что этот интеграл является обычным кратным интегралом по аргументам 𝑥𝑖. После одной интеграции по частям получим, отбросив проинтегрированную часть:
∫
∂𝐹
∂𝑥𝑘
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
=
𝑖
ℏ
∫
∂𝑆
∂𝑥𝑘
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
.
(7.32)
Задача 7.4. Выясните, почему обращается в нуль проинтегрированная часть.
Окончательно имеем
╱
╲
∂𝐹
∂𝑥𝑘
╲
╱𝑆
=-
𝑖
ℏ
╱
╲
𝐹
∂𝑆
∂𝑥𝑘
╲
╱𝑆
.
(7.33)
Это выражение имеет тот же смысл, что и соотношение (7.30). Более удобно записать его в дифференциальной форме
⟨δ𝐹⟩
𝑆
=-
𝑖
ℏ
⟨𝐹δ𝑆⟩
𝑆
(7.34)
так как в этом случае можно не указывать переменных, от которых зависят функции 𝐹 и 𝑆.
Задача 7.5. Покажите, что соотношение (7.34), вообще говоря, может ввести в заблуждение, поскольку в (7.33) используются только прямоугольные координаты. Для этого исследуйте соответствующее соотношение в случае, когда используются, например, сферические координаты и отыскивается производная ⟨𝑑𝐹/𝑑𝑟𝑘⟩𝑆.
§ 3. Матричные элементы перехода для некоторых специальных функционалов
Соотношение (7.34) имеет много интересных приложений. В этом параграфе мы проанализируем некоторые из них. При этом ограничимся частным случаем одномерного движения частицы под действием потенциала 𝑉[𝑥(𝑡)].
Предположим, что вдоль траектории частицы действие задаётся выражением
𝑆=
𝑡2
∫
𝑡1
⎧
⎨
⎩
𝑚𝑥̇²
2
-𝑉[𝑥(𝑡)]
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑡
.
(7.35)
Если каждая траектория сдвигается на малую величину δ𝑥(𝑡), то в первом приближении
δ𝑆
-=
𝑡2
∫
𝑡1
[𝑚𝑥̈+𝑉'[𝑥(𝑡)]
δ𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
.
(7.36)
Из соотношения (7.34) в этом случае следует
⟨δ𝐹⟩
𝑆
=-
𝑖
ℏ
╱
╲
𝐹
𝑡2
∫
𝑡1
[𝑚𝑥̈+𝑉'[𝑥]
δ𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
╲
╱
.
(7.37)
Это выражение можно получить и иначе, если встать на точку зрения, применявшуюся нами при выводе формулы (7.33); другими словами, если провести разбиение временного интервала на малые отрезки длиной ε. Действие 𝑆 в этом случае запишется как
𝑆
=
𝑁-1
∑
𝑖=1
⎡
⎢
⎣
𝑚
(𝑥𝑖+1-𝑥𝑖)²
2ε
-
𝑉(𝑥
𝑖
)ε
⎤
⎥
⎦
.
(7.38)
Если выбрать некоторый момент времени 𝑡𝑘 и, как прежде, обозначить через 𝑥𝑘 соответствующую точку траектории, то
∂𝑆
∂𝑥𝑘
=
𝑚
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
-
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
⎫
⎪
⎭
+
𝑉'(𝑥
𝑘
)ε
.
(7.39)
Учитывая теперь (7.33), получаем