Позднее, когда мы перейдём к более привычным операторным обозначениям, будет видно, что оба операторных уравнения, соответствующие уравнению (7.42), и правило коммутации операторов (7.45) получаются из одного и того же фундаментального соотношения (7.34).
Из выражения (7.45) можно сделать дальнейшие выводы, которые дадут нам лучшее представление о свойствах траектории, играющих важную роль в квантовой механике. Рассмотрим порознь
╱
╲
𝑥
𝑘
𝑚
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
╲
╱
(7.46)
и
╱
╲
𝑥
𝑘+1
𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
╲
╱
.
(7.47)
Эти члены отличаются один от другого на величину порядка ε, поскольку они представляют собой одну и ту же величину, вычисленную в два различных момента, отличающихся на ε. Поэтому можно подставить выражение (7.47) вместо второго члена соотношения (7.45). В результате получим
╱
╲
𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
(𝑥
𝑘
-𝑥
𝑘+1
)
╲
╱
=
𝑖
ℏ
⟨1⟩
.
(7.48)
Можем записать это и по-другому:
╱
╲
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
⎫²
⎪
⎭
╲
╱
=
𝑖
ℏ𝑚ε
⟨1⟩
.
(7.49)
Отсюда следует, что матричный элемент квадрата скорости имеет порядок 1/ε и неограниченно растёт, когда ε стремится к нулю. Поэтому можно заключить, что основные траектории квантовомеханической частицы не имеют вида гладкой кривой с определённым наклоном (т.е. с определённой скоростью), а изображаются линией с очень мелкими хаотическими изломами, как показано на фиг. 7.1. На самом деле эта хаотичность такова, что если для определения «среднего» воспользоваться классическими понятиями, то «среднеквадратичной» скорости просто не будет существовать.
Фиг. 7.1. Типичные траектории квантовомеханической частицы.
Они имеют нерегулярные изломы, если рассматривать их с достаточным увеличением. Таким образом, хотя средняя скорость может быть вычислена, но среднего квадрата скорости не существует. Другими словами, траектории не дифференцируемы.
Если для малого промежутка времени Δ𝑡 среднюю скорость определить, например, как [𝑥(𝑡+Δ𝑡)-𝑥(𝑡)]/Δ𝑡, то «среднеквадратичная скорость» для малого интервала времени конечна, но величина её будет тем больше, чем меньше взятый интервал.
Итак, мы знаем, что квантовомеханические траектории весьма хаотичны. Однако, будучи усреднёнными по разумному отрезку времени, эти хаотичности приводят к разумной величине дрейфа, т.е. к «средней скорости», несмотря на то что для коротких временных интервалов такая «средняя» величина скорости очень велика.
Задача 7.6. Покажите, что для частицы, движущейся в трёхмерном пространстве (𝑥,𝑦𝑧), справедливы соотношения
⟨(𝑥
𝑘+1
-𝑥
𝑘
)²⟩
=
⟨(𝑦
𝑘+1
-𝑦
𝑘
)²⟩
=
⟨(𝑧
𝑘+1
-𝑧
𝑘
)²⟩
=-
𝑖ε
ℏ𝑚
,
(7.50)
⟨(
𝑥
𝑘+1
-𝑥
𝑘
)(
𝑦
𝑘+1
-𝑦
𝑘
)⟩=⟨(
𝑥
𝑘+1
-𝑥
𝑘
)(
𝑧
𝑘+1
-𝑧
𝑘
)⟩=
=⟨(
𝑦
𝑘+1
-𝑦
𝑘
)(
𝑧
𝑘+1
-𝑧
𝑘
)⟩=0.
(7.51)
Отсюда видно, что матричный элемент кинетической энергии нельзя написать просто как