⟨𝑥(0)⟩
=
𝑥
1
⟨1⟩
,
⟨𝑥(𝑇)⟩
=
𝑥
2
⟨1⟩
.
(7.55)
Так как в рассматриваемом случае все потенциалы, действующие на частицу, постоянны в пространстве (поскольку отсутствуют силы), то вторая производная от матричного элемента перехода для пространственной координаты равна нулю в соответствии с уравнением (7.42) и, следовательно, результатом интегрирования будет
⟨𝑥(𝑡)⟩
=
⎡
⎢
⎣
𝑥
1
+
𝑡
𝑇
(𝑥
2
-𝑥
1
)
⎤
⎥
⎦
⟨1⟩.
(7.56)
Заметим, что выражение в скобках есть как раз величина 𝑥(𝑡), взятая вдоль классической траектории 𝑥(𝑡).
Задача 7.7. Покажите, что для любой квадратичной функции действия
⟨𝑥(𝑡)⟩
=
𝑥
(𝑡)
⟨1⟩.
(7.57)
В качестве несколько менее тривиального примера попытаемся вычислить матричный элемент перехода ⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)⟩ для того же случая свободной частицы, что и выше. Поскольку этот матричный элемент есть уже функция двух моментов времени, можно записать его как 𝑓(𝑡,𝑠). Вторая производная по времени в этом случае равна
∂²𝑓(𝑡,𝑠)
∂𝑡²
=
⟨𝑥̈(𝑡)𝑥(𝑠)⟩
.
(7.58)
Этот матричный элемент можно вычислить с помощью подстановки 𝐹=𝑥(𝑠) в уравнение (7.40). В случае 𝑠≠𝑡, используя те же соображения, которые приводят к уравнению (7.42), получаем -(1/𝑚)⟨𝑉'[𝑥(𝑡)]𝑥(𝑠)⟩, тогда как при 𝑠=𝑡, повторив соображения, приводившие нас к соотношению (7.44), найдём, что матричный элемент перехода (7.58) является величиной порядка 1/ε. Переходя к пределу при ε→0, имеем
𝑚
∂²𝑓
∂𝑡²
=
⟨𝑚𝑥̈(𝑡)𝑥(𝑠)⟩
=
ℏ
𝑖
δ(𝑡-𝑠)
-
⟨𝑉'[𝑥(𝑡)]𝑥(𝑠)⟩
.
(7.59)
Поскольку в рассматриваемом случае свободной частицы потенциал не зависит от пространственных координат, то второй член в правой части выражения (7.59) равен нулю. Получившееся при этом уравнение можно решить, разбив область интересующих нас значений 𝑡 на две части. В области, где 𝑡<𝑠,
𝑓
=
𝑎(𝑠)𝑡
+
𝑏(𝑠)
,
(7.60)
а при 𝑡>𝑠
𝑓
=
𝐴(𝑠)𝑡
+
𝐵(𝑠)
.
(7.61)
Таким образом, в точке 𝑡=𝑠 первая производная функции 𝑓 по времени претерпевает скачок, равный 𝐴(𝑠)-𝑎(𝑠); в соответсвии с уравнением (7.59) 𝐴(𝑠)-𝑎(𝑠)=ℏ/𝑚𝑖. Кроме того, следствием граничных условий являются равенства
⟨𝑥(0)𝑥(𝑠)⟩
=
𝑥
1
⟨𝑥(𝑠)⟩
=
𝑥
1
𝑥
(𝑠)⟨1⟩
,
⟨𝑥(𝑇)𝑥(𝑠)⟩
=
𝑥
2
𝑥
(𝑠)⟨1⟩
.
(7.62)
Этого ещё недостаточно для определения всех четырёх функций 𝑎, 𝐴, 𝑏 и 𝐵, однако мы можем дополнительно использовать соотношение
∂²𝑓
∂𝑠²
=
⎧
⎪
⎩
ℏ
𝑚𝑖
⎫
⎪
⎭
δ(𝑡-𝑠)
,
(7.63)
полученное дифференцированием функции 𝑓 по переменной 𝑠, или учесть, что функция 𝑓(𝑡,𝑠) должна быть симметричной относительно переменных 𝑡 и 𝑠. Отсюда следует, что 𝑎, 𝐴, 𝑏 и 𝐵 должны быть линейными функциями переменной 𝑠. Теперь граничных условий уже достаточно для определения решения, и мы получаем
⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)⟩
=
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎡
⎢
⎣
𝑥
(𝑡)
𝑥
(𝑠)
+
ℏ
𝑚𝑖𝑇
𝑠(𝑇-𝑡)
⎤
⎥
⎦
⟨1⟩ при 𝑠<𝑡,
⎡
⎢
⎣
𝑥
(𝑡)
𝑥
(𝑠)
+
ℏ
𝑚𝑖𝑇
𝑡(𝑇-𝑠)
⎤
⎥
⎦
⟨1⟩ при 𝑠>𝑡.
(7.64)
Легко видеть, что этот результат является правильным. Произведение двух классических траекторий 𝑥(𝑡) и 𝑥(𝑠), взятых в разные моменты времени, представляет собой решение, удовлетворяющее необходимым граничным условиям однородных уравнений, которые получаются, если приравнять нулю правые части (7.59) и (7.63). Последние члены в правой части соотношений (7.64) являются частными решениями неоднородных уравнений (7.59) и (7.63), обращающимися в нуль на концах интервала.