Интеграл вдоль траектории 𝑦 не зависит от функции 𝑓(𝑡), поскольку она входит в действие 𝑆' как коэффициент перед линейным членом 𝑥(𝑡). Мы уже видели [см. выражение (3.49)], что в оставшуюся часть такого интеграла входят лишь квадратичные члены функции 𝑆', которые представляют собой не что иное, как квадратичную часть функции 𝑆. Поэтому интеграл по траектории в правой части соотношения (7.67) превращается в экспоненту, умноженную на матричный элемент перехода ⟨1⟩. В результате получаем
╱
╲
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
∫
𝑓(𝑡)𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
╲
╱
=
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑆'
кл
-𝑆
кл
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⟨1⟩.
(7.68)
Мы уже рассматривали экстремум функции 𝑆'кл. Отсюда можно получить экстремум функции 𝑆кл, если положить 𝑓(𝑡) тождественно равной нулю. Заметим, что действие для гармонического осциллятора, определяемое выражением (3.68), является частным случаем функции действия 𝑆'кл.
Задача 7.9. Используя полученный выше результат, покажите, что если функция 𝑆 соответствует гармоническому осциллятору, т.е.
𝑆
=
𝑚
2
∫
𝑥̇²
𝑑𝑡
-
𝑚ω²
2
∫
𝑥²
𝑑𝑡
,
то
╱
╲
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
∫
𝑓(𝑡)𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
╲
╱
=
⟨1⟩
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑚ω
2sin ω(𝑡2-𝑡1)
⎤
⎥
⎦
×
×
⎡
⎢
⎣
2𝑥2
𝑚ω
𝑡2
∫
𝑡1
𝑓(𝑡)
sin ω(𝑡-𝑡
1
)
𝑑𝑡
+
2𝑥1
𝑚ω
𝑡2
∫
𝑡1
𝑓(𝑡)
sin ω(𝑡
2
-𝑡)
𝑑𝑡
-
-
2
𝑚²ω²
𝑡2
∫
𝑡1
𝑡
∫
𝑡1
𝑓(𝑡)
𝑓(𝑠)
sin ω(𝑡
2
-𝑡)
sin ω(𝑡-𝑡
1
)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
,
где 𝑥1, 𝑥2,— начальные и конечные координаты для осциллятора.
Из матричного элемента перехода, заданного выражением (7.68), можно получить элемент перехода для координаты 𝑥(𝑡). Продифференцируем для этого соотношение (7.68) по 𝑓(𝑡):
╱
╲
𝑥(𝑡)
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
∫
𝑓𝑥
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
╲
╱
=
𝑖
ℏ
δ
δ𝑓(𝑡)
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝑆'
кл
-𝑆
кл
)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⟨1⟩
=
=
δ𝑆'кл
δ𝑓(𝑡)
⎧
⎨
⎩
exp
𝑖
ℏ
(𝑆'
кл
-𝑆
кл
)
⎫
⎬
⎭
⟨1⟩
.
(7.69)
Полагая в обеих частях этого равенства 𝑓(𝑡)≡0, получаем
⟨𝑥(𝑡)⟩
=
⟨1⟩
δ𝑆'кл
δ𝑓(𝑡)
⎪
⎪
⎪𝑓≡0
.
(7.70)
Этот процесс можно продолжить до второй производной:
⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)⟩