ℏ
𝐻ψ
,
(7.75)
χ*(𝑥,𝑡+ε)
=
χ*(𝑥,𝑡)
+ε
∂χ*
∂𝑡
=
χ*+
𝑖ε
ℏ
(𝐻χ)*
.
(7.76)
Тогда в первом приближении по ε имеем
∫
χ*(𝑥,𝑡+ε)
𝑥
ψ(𝑥,𝑡+ε)
𝑑𝑥
=
χ*(𝑥,𝑡)
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
-
-
𝑖ε
ℏ
⎧
⎨
⎩
χ*(𝑥,𝑡)
𝑥
[𝐻ψ(𝑥,𝑡)]
𝑑𝑥
-
[𝐻*χ*(𝑥,𝑡)]
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
⎫
⎬
⎭
.
(7.77)
С помощью соотношения (4.30) последний интеграл можно записать как ∫χ*(𝑥,𝑡)[𝐻𝑥ψ(𝑥,𝑡)]𝑑𝑥; упрощая, запишем в операторном виде
⟨χ|𝑚𝑥̇|ψ⟩
=-
𝑖𝑚
ℏ
∫
χ*
(𝑥𝐻-𝐻𝑥)
ψ
𝑑𝑥
.
(7.78)
Это ничем не отличается от соотношения
-
𝑖
ℏ
𝑚
∫
χ*
ℏ²
𝑚
∂ψ
∂𝑥
𝑑𝑥
∫
χ*
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑥
𝑑𝑥
,
(7.79)
где мы применили результат задачи 4.4. Оператор (ℏ/𝑖)(∂/∂𝑥) обычно называется оператором импульса, или, точнее, оператором, представляющим 𝑥-компоненту импульса. Структура матричного элемента перехода для величины 𝑚𝑥̇ соответствует постановке оператора (ℏ/𝑖)(∂/∂𝑥) между функциями χ* и ψ; аналогично в матричном элементе перехода для величины 𝑥 мы помещаем 𝑥 между теми же функциями. Эти соотношения можно понять глубже, если перейти к импульсному представлению. Пусть
χ(𝑝)
=
∞
∫
-∞
χ(𝑥)
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝑝𝑥
𝑑𝑥
,
ψ(𝑝)
=
∞
∫
-∞
ψ(𝑥)
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝑝𝑥
𝑑𝑥
(7.80)
являются импульсным представлением функций χ и ψ; тогда можно показать, что
∞
∫
-∞
χ*(𝑥)
ℏ
𝑖
∂ψ(𝑥)
∂𝑥
𝑑𝑥
=
∞
∫
-∞
χ*(𝑝)
𝑝ψ(𝑝)
𝑑𝑝
.
(7.81)
Задача 7.11. Докажите соотношение (7.81).
Есть и другой путь к пониманию этого соотношения. Рассмотрим амплитуду вероятности перехода, определяемую выражением
⟨χ|1|ψ⟩
=
∫∫
χ*(𝑥
𝑁
,𝑡
𝑁
)
𝐾(𝑥
𝑁
,𝑡
𝑁
;𝑥
1
,𝑡
1
)
ψ(𝑥
1
,𝑡
1
)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
𝑁
.
(7.82)
Предположим далее, что вся ось 𝑥1 смещена вправо на малый отрезок Δ. Обозначив новую координату 𝑥'1, имеем
𝑥
1
=
𝑥'
1
-
Δ
.
(7.83)
Заменив старые переменные 𝑥1 на новые, мы не изменим амплитуду перехода, определяемую соотношением (7.82):
⟨χ|1|ψ⟩
=
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
𝑥𝑁
∫
𝑥'1
χ(𝑥
𝑁
,𝑡
𝑁
)
exp
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝑁-1
∑
𝑖=2
𝑆
[𝑥
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
;𝑥
𝑘
,𝑡
𝑘
]
+
+
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝑆
[𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥'
1
-
Δ
,𝑡]
⎤
⎥
⎦
ψ(𝑥'
1
-
Δ
,𝑡)
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑𝑥'