Фиг. 1.8. Рассеяние одного ядра на другом в системе центра масс.
При рассеянии двух тождественных ядер появляется чёткий интерференционный эффект. В этом случае налицо две интерферирующие альтернативы. Частица, которая попадает, например, в точку 1, могла вылететь либо из А, либо из В. Если бы исходные ядра не были идентичными, то проверка тождественности в точке 1 могла бы указать, какая альтернатива имеет место в действительности; тогда альтернативы были бы несовместимы и поэтому никаких интерференционных эффектов не возникло бы.
Некоторые иллюстрации. Альтернативы, которые невозможно различить никаким экспериментом, всегда интерферируют. Яркой иллюстрацией этого факта служит, например, рассеяние двух ядер на угол 90° в системе центра масс, которое изображено на фиг. 1.8. Пусть А является α-частицей, а В — некоторым другим ядром. Спрашивается, какова вероятность того, что А попадает в точку 1 и В в точку 2. Пусть амплитудой такого процесса будет φAB(1,2), тогда вероятность 𝑝=|φAB(1,2)|². Допустим, что мы не различаем, какое ядро попадает в точку 1 (т.е. не знаем, будет ли это ядро А или В). Если это ядро В, то амплитудой такого события будет φAB(2,1) [равная φAB(1,2), так как мы выбрали угол рассеяния 90°]. Вероятность того, что одно ядро попадёт в точку 1, а другое в точку 2, равняется
|φ
AB
(1,2)|²+
|φ
AB
(2,1)|²=
2𝑝.
(1.9)
Мы сложили вероятности. Случаи, когда и А, и В попадают в точку 1, представляют собой несовместимые альтернативы, так как при желании мы могли бы, не нарушая предыдущего процесса рассеяния, определить тип ядра, попавшего в точку 1.
Но что произойдёт, если не только А, но и В также будет α-частицей? Никакой эксперимент в этом случае не в состоянии различить их, и если что-то попадает в точку 1, мы не сможем узнать, какая это частица. Здесь налицо интерферирующие альтернативы, и вероятность равна уже
|φ
AB
(1,2)+φ
AB
(2,1)|²=4𝑝.
(1.10)
Этот интересный результат проверен на опыте.
Когда происходит рассеяние электронов на электронах, то результат отличен от описанного в двух отношениях. Во-первых, у электрона есть свойство, которое мы называем спином, и каждый электрон может находиться в одном из двух состояний: его спиновый момент направлен «вверх» или «вниз». В случае рассеяния электронов малой энергии спиновое состояние в первом приближении не изменяется. Со спином связан магнитный момент электрона; при малых скоростях основными будут электрические силы, обусловленные зарядом, а влияние магнитных сил сводится лишь к малой поправке, которой мы пренебрегаем. Поэтому если спин электрона А направлен вверх, а спин электрона В — вниз, то, определив его направление, мы могли бы затем различить их в момент прихода в точку 1. Вероятность рассеяния в этом случае
|φ
AB
(1,2)|²+
|φ
AB
(2,1)|²=
2𝑝.
(1.11)
Если же и электрон А, и электрон В начинают движение, когда их спины были направлены вверх, то мы не сможем их в дальнейшем различить и следует ожидать, что
|φ
AB
(1,2)+φ
AB
(2,1)|²=4𝑝.
(1.12)
В действительности этот вывод ошибочен, и, как это ни странно, электроны не подчинены такому правилу. Фаза амплитуды, описывающей перемену мест пары тождественных электронов, отличается от исходной на угол 180°. Следовательно, в случае когда оба спина направлены вверх, вероятность рассеяния равна
|φ
AB
(1,2)-φ
AB
(2,1)|.
(1.13)
В случае же рассеяния на угол 90° φAB(1,2)=φAB(2,1), так что выражение (1.13) обращается в нуль.
Фермионы и бозоны. Правило сдвига фазы на угол 180° в случае, когда альтернативы включают в себя обмен тождественными электронами, довольно необычно и его физическая природа понята ещё не до конца. Кроме электронов, ему подчинены и другие частицы. Такие частицы называют фермионами и говорят, что они подчиняются статистике Ферми (антисимметричной статистике). К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и μ-мезоны, а также комбинации из нечётного числа этих частиц, как, например, атом азота, содержащий семь электронов, семь протонов и семь нейтронов. Правило сдвига фазы на угол 180° впервые сформулировал Паули, и оно составляет квантовомеханическую основу принципа исключения Паули, определяющего характерные черты периодической системы элементов.